Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)

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Luigi Cremona

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Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane
1862


[p. 313]

INTRODUZIONE


AD UNA


TEORIA GEOMETRICA


DELLE


CURVE PIANE.





PEL

D.R LUIGI CREMONA,

Professore di Geometria Superiore nella R. Università di Bologna.




BOLOGNA

TIPI GAMBERINI E PARMEGGIANI.

1862.



[p. 314]


MEMORIA

letta davanti all'Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna nella sessione 19 dicembre 1861, e pubblicata il 10 ottobre 1862 nel tomo XII (1.a Serie) delle Memorie di detta Accademia — da pag. 305 a pag. 436. [40]

Sommario

Prefazione 75%.svg

Sezione I. Principii fondamentali.

Art. I. Del rapporto anarmonico 75%.svg ... § 1-6

Relazioni fra i rapporti anarmonici di quattro punti (1). Rapporto anarmonico di quattro rette (2). Problemi (3). Sistema armonico di quattro punti o di quattro rette (4). Proprietà armonica del quadrilatero completo (5). Condizione perchè un’equazione di quarto grado rappresenti un sistema armonico (6).

Art. II. Projettività delle punteggiate e delle stelle 75%.svg ... § 7-10

Forme geometriche projettive (7). Eguaglianza de’ rapporti anarmonici (8). Punteggiate projettive sovrapposte (9). Stelle projettive concentriche (10).

Art. III. Teoria de' centri armonici 75%.svg ... § 11-20

Centri armonici di un sistema di punti in linea retta, rispetto ad un dato polo (11). Relazione di reciprocità fra un centro armonico ed il polo (12). Relazione fra i centri armonici di due gradi diversi (13). Centri armonici relativi a due poli (14). Casi particolari (15— 17). Le proprietà de’ centri armonici non si alterano nella proiezione centrale (18). Assi armonici (19, 20).

Art. IV. Teoria dell'involuzione 75%.svg ... § 21-27

Gruppi di punti in involuzione (21). Punti doppi d’un’involuzione (22). Rapporto anarmonico di quattro gruppi (23). Involuzioni projettive (24). Involuzione di secondo grado (25). Sistema equianarmonico di quattro punti (26). Condizione perchè un’equazione di quarto grado rappresenti un sistema equianarmonico (27).

Art. V. Definizioni relative alle linee piane 75%.svg ... § 28-31

Ordine di una linea luogo di punti; classe di una linea inviluppo di rette (28). Tangenti doppie e stazionarie (29). Punti doppi e cuspidi (30). Punti e tangenti multiple (31).

Art. VI. Punti e tangenti comuni a due curve 75%.svg ... § 32

Punti comuni a due curve d’ordini dati. Influenza de’ punti multipli; tangenti comuni (32).

Art. VII. Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe 75%.svg ... § 33-35

A quante condizioni deve sodisfare una curva, se vuoisi ch’essa passi un dato numero di volte per un punto dato (33)? Quante condizioni determinano una curva di dato ordine (34)? Numero massimo de’ punti doppi di una curva (35).

Art. VIII. Porismi di Chasles e teorema di Carnot 75%.svg ... § 36-41

Porismi generali di Chasles (36,37). Teorema di Carnot (38). Applicazione alle curve di secondo e terz’ordine (39). Teorema relativo alle tangenti di una curva (40). Fascio di curve (41).

Art. IX. Altri teoremi fondamentali sulle curve piane 75%.svg ... § 42-45

Teorema di Jacobi (42). Teorema di Plücker (43). Teorema di Cayley (44). Applicazioni (45).

Art. X. Generazione delle linee piane 75%.svg ... § 46-58

Rapporto anarmonico di quattro curve in un fascio (46). Casi particolari relativi ai punti-base d’un fascio (47,48). Involuzione determinata da un fascio di curve sopra una retta arbitraria (49). Luogo de’ punti comuni alle curve corrispondenti in due fasci projettivi (50—52). Problema sulla generazione di una curva (53). Teoremi di Chasles (54,55). Teorema di Jonquières (56, 57). Differenti soluzioni del problema (58).

Art. XI. Costruzione delle curve di second'ordine 75%.svg ... § 59-64

Generazione di una conica mediante due stelle projettive (59), e mediante due punteggiate projettive (60). Identità delle curve di second’ordine con quelle di seconda classe (61). Problemi (62-64).

Art. XII Costruzione della curva di terz'ordine determinata da nove punti 75%.svg ... § 65-67

Generazione di una cubica mediante due fasci projettivi, l’uno di rette, l’altro di coniche (65). Metodo di Chasles per descrivere la cubica determinata da nove punti dati (66). Diversi teoremi sulle curve di terz’ordine (67).
Sezione II. Teoria delle curve polari.

Art. XIII. Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari 75%.svg ... § 68-82

Polari di un punto rispetto alla curva fondamentale (68, 69). Rette tangenti condotte dal polo alla curva fondamentale (70). Polari di un punto della curva fondamentale (71, 72). Influenza dei punti multipli della curva fondamentale sulle polari di un polo qualunque (73, 74). Teorema di Maclaurin (75). Teorema di Cayley (76). Le prime polari de’ punti di una retta formano un fascio (77). Punti doppi delle polari (78, 79). Proprietà caratteristica dei flessi (80). Inviluppo delle rette polari de’ punti di una data linea (81). Inviluppi polari (82).

Art. XIV. Teoremi relativi ai sistemi di curve 75%.svg ... § 83-91

Luogo de’ punti comuni a due curve corrispondenti in due serie projettive (83). Polari di un punto rispetto alle curve d’una serie (84). Curve d’una serie toccate da una retta data (85). Luogo dei poli di una retta rispetto alle curve d’una serie (86). Curve d’una serie toccate da una curva data (87). Punti doppi delle curve d’un fascio (88, 89). Curva Steineriana (88, d). Luogo de’punti di contatto fra le curve di due fasci (90). Curva Hessiana (90, a). Punti di contatto fra le curve di tre fasci (91). Inviluppo delle tangenti comuni ne’ punti di contatto fra le curve di due fasci (91, a).

Art. XV. Reti geometriche 75%.svg ... § 92-98

Definizioni (92). Curva Jacobiana di tre curve date (93, 94). Hessiana di una rete (95). Rete di curve passanti per uno stesso punto (96). Rete di curve toccantisi in uno stesso punto (97). Curva Steineriana di una rete (98, a).

Art. XVI. Formole di Plücker 75%.svg ... § 99-102

Forinola che dà la classe di una curva (99). Formole pei flessi e per le tangenti doppie (100). Altra relazione fra l’ordine, la classe e le singolarità di una curva (101). Caratteristiche di una curva di dato ordine priva di punti multipli (102).

Art. XVII. Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data 75%.svg ... § 103-106

Ordine e singolarità della linea inviluppata dalle rette polari dei punti di una curva data (103). Proprietà di una rete (103, b). Inviluppo delle polari (di un dato ordine) dei punti di una curva data (104). Prima polare di una curva di classe data (104, d). Modo di determinare l’ordine di certi inviluppi (104, f). Doppia definizione delle polari di un punto (103, f; 104, g). Teoremi sulle polari delle curve (104, h, k). Luogo dei poli congiunti ad un polo variabile (105). Luogo delle intersezioni delle polari prima e seconda di un polo variabile (106).

Art. XVIII. Applicazione alle curve di second'ordine 75%.svg ... § 107-111

Poli e polari nelle coniche (107). Poli coniugati, polari coniugate; triangoli coniugati (108). Teorema di Hesse (109). Curve polari reciproche (110). Hessiana di una rete di coniche coniugate ad uno stesso triangolo (110, b). Coniche polari reciproche (111). Conica le cui tangenti tagliano armonicamente due coniche date; ecc. (111, e). Triangoli coniugati ad una conica ed inscritti o circoscritti ad un’altra (111, d, f).

Art. XIX. Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data 75%.svg ... § 112-117

Per un dato punto condurre una retta che ivi tocchi la polare d’alcun suo punto (112). Luogo di un punto una indicatrice del quale passi per un punto dato (113). Inviluppo delle indicatrici dei punti di una data curva (114). Luogo di un punto un’indicatrice del quale tocchi una curva data (115). Luogo di un punto variabile che unito a due punti fissi dia due rette coniugate rispetto alla conica polare del primo punto (116). Generalizzazione dell’antecedente problema (117).

Art. XX. Alcune proprietà della curva Hessiana e della Steineriana 75%.svg ... § 118-122

Le rette polari dei punti dell’Hessiana inviluppano la Steineriana (118). Caratteristiche della Steineriana (118, b—d). Le prime polari dei punti di una tangente doppia della Steineriana si toccano fra loro in due punti (119, a). Le prime polari dei punti di una tangente stazionaria della Steineriana si osculano fra loro in uno stesso punto (119, b). Un punto doppio della Steineriana è polo di una prima polare dotata di due punti doppi (120). La prima polare di una cuspide della Steineriana è dotata di un punto stazionario (121). L’ultima polare di una curva data tocca la Steineriana nei punti corrispondenti alle intersezioni della curva data coll’Hessiana (122).

Art. XXI. Proprietà delle seconde polari 75%.svg ... § 123-129

Seconde polari pure e miste di punti (123). Inviluppo delle curve d’una serie d’indice 2 (124). Seconde polari pure e miste di rette (125). Le seconde polari pure e miste delle rette passanti per un punto dato formano una rete (126). La seconda polare pura di una retta tocca l’Hessiana ovunque l’incontra (127). Rette le cui seconde polari hanno un punto doppio (128). Luogo di un punto la conica polare del quale sia inscritta in un triangolo coniugato ad una conica data (129).
Sezione III. Curve del terz’ordine.

Art. XXII L'Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz'ordine 75%.svg ... § 130-138

Retta polare e conica polare di un punto; una retta ha quattro poli; da un punto qualunque arrivano sei tangenti ad una cubica (130). 11 rapporto anarmonico delle quattro tangenti condotte ad una cubica da un suo punto qualunque è costante (131). Cubica armonica; cubica equianarmonica (131, b). La Steineriana e l’Hessiana sono una curva unica (132). Luogo delle coppie di poli coniugati rispetto alle coniche di una rete (132, b). L’Hessiana è l’inviluppo delle rette polari de’ suoi punti (132, c). Punti corrispondenti dell’Hessiana; inviluppo della retta che li unisce (133). Quadrilatero i cui vertici sono punti corrispondenti dell’Hessiana (134). La Cayleyana è il luogo de’ poli congiunti ai punti dell’Hessiana (135). Una tangente della Cayleyana è divisa armonicamente dal punto di contatto e dall’Hessiana (135, c). Poloconiche pure e miste (136). Altre definizioni dell’Hessiana e della Cayleyana (136, b). Ogni poloconica pura tocca l’Hessiana in tre punti (137). Conica polare di un punto dell’Hessiana rispetto all’Hessiana medesima (137, b). Conica satellite (138). L’Hessiana è il luogo de’ punti satelliti delle rette che toccano la Cayleyana (138, a).

Art. XXIII Fascio di curve del terz'ordine aventi i medesimi flessi 75%.svg ... § 139-145

Polari armoniche de’ flessi di una cubica (139). I flessi sono a tre a tre in linea retta (139, b). Cubiche sizigetiche (140). Pei flessi di una cubica passano quattro sistemi di tre rette (140, b). Punti ove l’Hessiana è toccata dalle tangenti stazionarie della cubica fondamentale (141). Punti di contatto fra l’Hessiana e la Cayleyana (141, b). La Cayleyana e l’Hessiana hanno proprietà reciproche (141, d). Proprietà dei trilateri sizigetici (142). Una cubica è Hessiana di tre cubiche ad essa sizigetiche (143). Relazione segmentarla (144). Una cubica ha soltanto tre flessi reali (144, a). L’Hessiana di una cubica equianarmonica è un trilatero; ed una cubica armonica è l’Hessiana della propria Hessiana (145).

Art. XXIV La curva di terz’ordine considerata come Hessiana di tre diverse reti di coniche 75%.svg ... § 146-150

Una cubica ha tre sistemi di punti corrispondenti (146). Quadrilateri completi inscritti in una cubica (146, b). Proprietà di quattro punti di una cubica, aventi lo stesso tangenziale (147). Polari di un punto rispetto a più cubiche sizigetiche (148). Proprietà de’ punti di contatto delle tangenti condotte ad una cubica da tre suoi punti in linea retta (149). Tre sistemi di coniche tangenti in tre punti ad una cubica; coniche aventi con essa un contatto sipunto (150).