Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane

Art. 9. Altri teoremi fondamentali sulle curve piane

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 9. Altri teoremi fondamentali sulle curve piane

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42. Fra gli $\tfrac{n(n+3)}{2}$ punti, che determinano una curva semplice d'ordine $n$, ve ne possono essere tutt'al più $np - \tfrac{(p-1)(p-2)}{2}$ situati in una curva d'ordine $p<n$.

Infatti, se $np- \tfrac{(p-1)(p-2)}{2}+1$ punti giacessero in una curva d'ordine $p$, i rimanenti punti, il cui numero è

$\frac{n(n+3)}{2}-np + \frac{(p-1)(p-2)}{2}- 1 = \frac{(n-p)(n-p+3)}{2}$,

determinerebbero (34) una curva d'ordine $n-p$, la quale insieme colla data curva d'ordine $p$ costituirebbe un luogo d'ordine $n$ passante per tutt'i punti dati. Dunque il massimo numero di punti che si possono prendere ad arbitrio sopra una curva d'ordine $p$, all'intento di descrivere per essi una curva semplice d'ordine $n>p$, è $np-\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}$.

43. Siano date due curve, l'una d'ordine $p$, l'altra d'ordine $q$, e sia $p+q = n$. Se nel luogo d'ordine $n$, formato da queste due curve, si prendono ad arbitrio $\tfrac{n(n+3)}{2} -1$ punti, per essi passeranno infinite curve d'ordine $n$, le quali avranno in comune altre $\tfrac{(n-1)(n-2)}{2}$ intersezioni (41) [52], distribuite sulle due curve date. Nell'assumere ad arbitrio quegli $\tfrac{n(n+3)}{2}-1$ punti, se ne prendano $np-g$ sulla curva d'ordine $p$ ed $nq - h$ sulla curva d'ordine $q$, ove $g,\, h$ sono due numeri (interi e positivi) soggetti alla condizione:

1)	$g + h=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$.

Inoltre, affinchè le due curve siano determinate dai punti presi in esse, dovrà essere:

$np-g \geq \frac{p(p+3)}{2}, \quad nq -h \geq \frac{q(q+3)}{2}$,

da cui:

$g\leq \frac{p(p-3)}{2} + pq, \quad h \leq \frac{q(q-3)}{2}+pq$.

Se in queste due relazioni poniamo per $g$ e per $h$ i valori dati dalla 1), abbiamo:

$h\geq \frac{(q-1)(q-2)}{2}, \quad g \geq \frac{(p-1)(p-2)}{2}$.

Così sono fissati i limiti entro i quali devono essere compresi $g,\, h$. Possiamo dire che $g$ è compreso fra il limite minimo $\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}$ ed il limite massimo $\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}+p(n-p)-1$; e che $h$ è dato, mediante $g$, dalla 1). Abbiamo così il teorema:

Tutte le curve d'ordine $n=p+q$ [53], descritte per $np - g$ punti dati di una curva d'ordine $p$ e per $nq - h$ punti dati di una curva d'ordine $q$, segano la prima curva in altri $g$ punti fissi e la seconda curva in altri $h$ punti fissi.

(a) Da questo teorema segue immediatamente:

Affinchè per le $n^2$ intersezioni di due curve d'ordine $n$ passi il sistema di due curve d'ordini $p,\, n- p$, è necessario e sufficiente che di queste intersezioni $np-g$ appartengano alla curva d'ordine $p$, ed $n(n-p) - h$ appartengano alla curva d'ordine $n-p$.

(b) Quando il numero $g$ ha il suo minimo valore, il teorema suenunciato può esprimersi così:

Ogni curva d'ordine $n$, descritta per $np-\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}$ punti dati di una curva d'ordine $p<n$, incontra questa in altri $\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}$ punti fissi.

Ovvero :

Se delle $n^2$ intersezioni di due curve d'ordine $n$, $np-\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}$ giacciono in una curva d'ordine $p<n$, questa ne conterrà altre $\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}$, e le rimanenti $n(n - p)$ saranno in una curva d'ordine $n - p$.

Del resto, questi teoremi sono compresi nel seguente più generale.

44. Date due curve, l'una $C_n$ d'ordine $n$, l'altra $C_m$ d'ordine $m<n$, se delle loro intersezioni ve ne sono $mp - \tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ situate sopra una curva $C_p$ d'ordine $p<n$, questa curva ne conterra altre $\tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$; e le rimanenti $m(n-p)$ saranno sopra una curva d'ordine $n - p$. [54]

Infatti: fra le $(n - m)p$ intersezioni delle curve $C_p,\, C_n$ non comuni a $C_m$, se ne prendano $\tfrac{(n-m)(n-m+3)}{2}$ e per esse si descriva una curva $C_{n-m}$ d'ordine $n - m$. Avremo così due luoghi d'ordine $n$: l'uno è $C_n$, l'altro è $C_m + C_{n-m}$. La curva $C_p$ contiene

$mp - \frac{(m+p -n -1)(m+p-n-2)}{2} + \frac{(n-m)(n-m+3)}{2}=$$np -\frac{(p-1)(p-2)}{2}$

intersezioni de' due luoghi, dunque (43, b) ne conterrà altre $\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}$; cioe $\tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ comuni a $C_n$, $C_m$, e $(n-m)p - \tfrac{(n-m)(n - m + 3)}{2}$ comuni a $C_n$, $C_{n-m}$; e tutte le rimanenti saranno in una curva d'ordine $n - p$.

Da questo teorema segue che gli $mp- \tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ punti dati comuni alle curve $C_n,\, C_m, \, C_p$ individuano altri $\tfrac{(m+p- n-1)(m+p - n- 2)}{2}$ punti comuni alle curve medesime. Tutti questi punti sono pienamente determinati dalle curve $C_m$, $C_p$, indipendentemente da $C_n$; dunque: Qualunque curva d'ordine $n$ descritta per $mp - \tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ intersezioni di due curve d'ordini $m, \, p$ ($m,\, p$ non maggiori di $n$) passa anche per tutti gli altri punti comuni a queste curve. [55]

45. I teoremi or ora dimostrati sono della più alta importanza, a cagione del loro frequente uso nella teoria delle curve. Qui mi limiterò ad accennare qualche esempio interessante.

(a). Una curva d'ordine $n$ sia segata da una trasversale ne' punti $a,\, b, \, \dots$ e da una seconda trasversale ne' punti $a',\, b', \dots$. Considerando il sistema delle $n$ rette $aa',\, bb', \dots$ come un luogo d'ordine $n$, le rimanenti intersezioni di esse colla curva data saranno (43, b) in una curva d'ordine $n - 2$. Supponiamo ora che $a', \, b', \dots$ coincidano rispettivamente con $a,\, b, \dots$; avremo il teorema:

Se ne' punti, in cui una curva d'ordine $n$ è segata da una retta, si conducono le tangenti alla curva, esse incontrano la curva medesima in altri $n(n - 2)$ punti, situati sopra una curva d'ordine $n - 2$.

(b). Analogamente si dimostra il teorema generale:

Se ne' punti, in cui una curva d'ordine $n$ è segata da un'altra curva d'ordine $n'$, si conducono le tangenti alla prima curva, esse la segheranno in altri $nn'(n - 2)$ punti, tutti situati in una curva dell'ordine $n'(n - 2)$.

Questo teorema è un'immediata conseguenza della proprietà dimostrata al principio del n. 44, purché si consideri il complesso delle $nn'$ tangenti come un luogo dell'ordine $nn'$, e la curva d'ordine $n'$, ripetuta due volte, come un luogo dell'ordine $2n'$.

(c). Una curva del terz'ordine passi pei vertici di un esagono e per due de' tre punti d'incontro delle tre coppie di lati opposti: dico che anche il punto comune alla terza coppia giace nella curva. Infatti: il primo, il terzo ed il quinto lato dell'esagono costituiscono un luogo di terz' ordine; mentre un altro luogo del medesimo ordine è formato dai tre lati di rango pari. Le nove intersezioni di questi due luoghi sono i sei vertici dell'esagono e i tre punti di concorso de' lati opposti. Ma otto di questi punti giacciono per ipotesi nella curva data; dunque (41) questa conterrà anche il nono; c. d. d.

Se i sei vertici sono in una curva di second'ordine, le altre tre intersezioni saranno in una retta (43,b); si ha così il celebre teorema di Pascal:

I lati opposti di un esagono inscritto in una curva di second'ordine si tagliano in tre punti situati in linea retta.

Dal quale, pel principio di dualità, si conclude il teorema di Brianchon:

Le rette congiungenti i vertici opposti di un esagono circoscritto ad una curva di seconda classe concorrono in uno stesso punto.

(d) Tornando all' esagono inscritto in una curva del terz' ordine, siano 1 2 3 4 5 6 i vertici ed $a,\, b,\, c$ i punti ove s'incontrano le coppie di lati opposti [12, 45], [23,56], [34, 61]. Se i punti 12 sono infinitamente vicini nella curva e così pure 45, i punti 1, 3, 4, 6, $b,\, c$ saranno i vertici di un quadrilatero completo ed $a$ sarà l'incontro delle tangenti alla curva ne' punti 1 e 4; dunque:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una curva del terz' ordine, le tangenti in due vertici opposti s'incontrano sulla curva.

Siano adunque, $abca'b'c'$ i vertici di un quadrilatero completo inscritto in una curva del terz'ordine: $abc$ siano in linea retta ed $a'b'c'$ i vertici rispettivamente opposti. Le tangenti in $aa',\, bb',\, cc'$ incontreranno la curva in tre punti $\alpha,\, \beta,\, \gamma$. Siccome però, se tre punti $abc$ di una curva del terz' ordine sono in una retta, anche i loro tangenziali $\alpha \beta \gamma$ sono in un'altra retta (39,b), così abbiamo il teorema:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una curva del terz'ordine, le coppie di tangenti ne' vertici opposti concorrono in tre punti della curva, situati in linea retta.

Note