Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data

Art. 19. Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 19. Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data

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Applicazione alle curve di second'ordine

Alcune proprietà della curva Hessiana e della Steineriana

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112. Riprendendo il caso generale d'una curva fondamentale $C_n$ d'ordine qualsivoglia $n$, cerchiamo di condurre per un dato punto $p$ una retta che tocchi ivi la prima polare d'alcun punto $o$ della retta medesima. Le prime polari passanti per $p$ hanno i loro poli nella retta polare di questo punto. Se inoltre $p$ dev'essere il punto di contatto della prima polare con una tangente condotta dal polo $o$, anche la seconda polare di $o$ dovrà passare per $p$ (70); talché $o$ sarà una delle intersezioni della retta polare colla conica polare di $p$, cioè $po$ dev'essere tangente alla conica polare di $p$.

Dunque le rette che risolvono il problema sono le due tangenti che da $p$ si possono condurre alla conica polare di questo punto, ossia le due indicatrici del punto $p$ (90, c).

(a) Se $p$ è un punto dell'Hessiana, la sua conica polare è un pajo di rette incrociantisi nel corrispondente punto $o$ della Steineriana, pel quale passa anche la retta polare di $p$. I punti di questa retta sono poli di altrettante prime polari passanti per $p$ ed ivi aventi una comune tangente (90, a); donde segue che questa è un'indicatrice del punto $p$. Ma le indicatrici di $p$ sono insieme riunite nella retta $po$ (90, c); dunque (98, b):

La retta che unisce un punto dell'Hessiana al corrispondente punto della Steineriana tocca nel primo di questi punti tutte le prime polari passanti per esso.

Ond'è che la linea della classe $3(n-1)(n - 2)$, inviluppo delle tangenti comuni ne' punti di contatto fra le prime polari (91, b), può anche essere definita come l'inviluppo delle rette che uniscono le coppie di punti corrispondenti dell'Hessiana e della Steineriana (98, b).

(b) Data una retta $R$, in essa esistono $2(n - 2)$ punti, ciascun dei quali, $o$, è il polo d'una prima polare tangente ad $R$ in un punto $p$ (103, c); epperò in una retta qualunque vi sono $2(n - 2)$ punti, per ciascuno de' quali essa è un'indicatrice.

Se $R$ è una tangente della curva fondamentale, nel punto di contatto sono riuniti due punti $o$ ed i due corrispondenti punti $p$.

113. Quale è il luogo del punto $p$, se una delle sue indicatrici passa per un punto fisso $i$? Ciascuna retta condotta per $i$ contiene $2(n-2)$ posizioni del punto $p$ (112,b); ed $i$ rappresenta altri due punti $p$, corrispondenti alle due indicatrici dello stesso punto $i$. Dunque il luogo richiesto è una curva $L^{ii}$ dell'ordine $2(n-2)+2 = 2(n-1)$, che passa due volte per $i$. Considerando una tangente della curva fondamentale, nel punto di contatto sono riuniti due punti $p$; dunque la linea $L^{ii}$ tocca $C_n$ negli $n(n-1)$ punti di contatto delle tangenti condotte a questa dal punto $i$.

Quando il polo $o$ (112) prende il posto del punto $i$, le $(n-1)(n-2)$ intersezioni della prima colla seconda polare di $i$ sono altrettante posizioni del punto $p$. Viceversa, se $p$ è nella seconda polare di $i$, la conica polare di $p$ passa per $i$; ma $i$ dee giacere in una tangente condotta da $p$ alla conica polare di quest'ultimo punto, dunque anche la retta polare di $p$ passerà per $i$, e conseguentemente $p$ giacerà nella prima polare di $i$. Quegli $(n-1)(n-2)$ punti sono pertanto i soli che la curva $L^{ii}$ abbia comuni colla seconda polare di $i$; ond'è che in tutti quei punti le due curve si toccano. Concludiamo adunque che la curva $L^{ii}$ tocca la curva fondamentale e la seconda polare del punto $i$ ovunque le incontra, e gli $n(n -1)+(n-1)(n-2)$ punti di contatto giacciono tutti nella prima polare di $i$.

Siccome la prima polare di $i$ presa due volte può considerarsi come una linea dell'ordine $2(n-1)$, e siccome la curva fondamentale e la seconda polare di $i$ costituiscono insieme un'altra linea dello stesso ordine; così (41) per i $2 (n-1)^2$ punti ne' quali la prima polare di $i$ sega $C_n$ e la seconda polare, si può far passare un fascio di curve dell'ordine $2(n-1)$, ciascuna delle quali tocchi la curva fondamentale e la seconda polare di $i$ in tutti quei punti. Fra le infinite curve di questo fascio, quella che passa per $i$ è $L^{ii}$.

114. Di qual classe è l'inviluppo delle indicatrici dei punti di una data curva $C_m$ d'ordine $m$? Ossia, quanti punti di questa curva hanno un'indicatrice passante per un punto $i$ fissato ad arbitrio? Il luogo di un punto $p$, un'indicatrice del quale passi per $i$, è (113) una curva dell'ordine $2(n-1)$, che segherà $C_m$ in $2m(n-1)$ punti; dunque in $i$ concorrono $2m(n-1)$ tangenti dell'inviluppo richiesto.

Si noti poi che quest' inviluppo tocca la curva fondamentale ovunque essa è incontrata da $C_m$; e ciò perchè ciascuna di queste intersezioni ha le sue indicatrici confuse insieme nella relativa tangente di $C_n$. Dunque:

Le indicatrici dei punti di una linea d'ordine $m$ inviluppano una linea della classe $2m(n-1)$, che tocca la curva fondamentale ne' punti ove questa è incontrata dalla linea d'ordine $m$.

(a) Di qui per $m=1$ si ricava che le indicatrici dei punti di una retta data inviluppano una curva della classe $2(n-1)$, la quale tocca in $2(n-2)$ punti la retta medesima, perchè questa è indicatrice di $2(n-2)$ suoi punti (112, b). (b) In virtù del teorema generale or dimostrato, se il punto $p$ percorre l'Hessiana che è una curva dell'ordine $3(n-2)$, le indicatrici di $p$ inviluppano una linea della classe $6(n-1)(n-2)$; ma siccome in questo caso, per ogni posizione di $p$ le due indicatrici si confondono in una retta unica (90, c), così la classe dell'inviluppo si ridurrà a $3(n-1)(n-2)$: risultato già ottenuto altrimenti (91, b; 112, a).

A quest'inviluppo arrivano $3(n-1)(n-2)$ tangenti da ogni dato punto $i$; onde ciascuno dei $3(n-1)(n-2)$ punti $p$ dell'Hessiana, le indicatrici de' quali sono le anzidette tangenti, rappresenta due intersezioni dell'Hessiana colla curva superiormente determinata (113).

Riunendo questa proprietà colle altre già dimostrate (113), si ha l'enunciato:

Dato un punto $i$, il luogo di un punto $p$ tale che la retta $pi$ sia tangente alla conica polare di $p$ è una linea dell'ordine $2(n-1)$, che passa due volte per $i$ e tocca la curva fondamentale, l'Hessiana e la seconda polare di $i$ ovunque le incontra.

115. Cerchiamo ora di determinare l'ordine del luogo di un punto $p$, un'indicatrice del quale sia tangente ad una data curva $K_r$ della classe $r$, cioè indaghiamo quanti punti sianvi in una retta $R$, dotati di un'indicatrice tangente a $K_r$. Se il punto $p$ si muove nella retta $R$, le sue indicatrici inviluppano (114, a) una linea della classe $2(n-1)$, la quale avrà $2r(n-1)$ tangenti comuni colla data curva $K_r$. Dunque il luogo richiesto è dell'ordine $2r(n-1)$.

Se consideriamo una tangente comune a $K_r$ ed a $C_n$, nel contatto con quest'ultima linea sono riuniti due punti $p$, pei quali la tangente fa l'ufficio d'indicatrice; donde s'inferisce che il luogo richiesto tocca la curva fondamentale negli $rn(n-1)$ punti ove questa è toccata dalle tangenti comuni a $K_r$, ovvero (ciò che è la stessa cosa) ne' punti in cui la curva fondamentale è incontrata dalla prima polare di $K_r$ (104, d).

La curva $K_r$ ha $3r(n-1)(n-2)$ tangenti comuni coll'inviluppo delle indicatrici dei punti dell'Hessiana; talché $3r(n-1)(n-2)$ è il numero dei punti comuni all'Hessiana ed al luogo dell'ordine $2r(n-1)$, di cui qui si tratta. Dunque:

Il luogo di un punto dal quale tirate le tangenti alla sua conica polare, una di queste riesca tangente ad una data curva della classe $r$, è una linea dell'ordine $2r(n-1)$ che tocca la curva fondamentale e l'Hessiana ovunque le incontra.

116. Dati due punti fissi $i$, $j$, cerchiamo il luogo di un punto $p$ tale che le rette $pi$, $pj$ siano polari coniugate (108) rispetto alla conica polare di $p$. È evidente che questo luogo passa per $i$ e per $j$.

Sia $R$ una retta condotta ad arbitrio per $j$, e $p$ un punto di $R$. Le rette polari di $p$, $i$ rispetto alla conica polare di $p$ incontrino $R$ ne' punti $a$, $b$; i quali se coincidessero in un punto solo, questo sarebbe il polo della retta $pi$ relativamente alla detta conica, talché si avrebbe in $p$ un punto del luogo richiesto. Assunto ad arbitrio il punto $a$ come intersezione di $R$ con una retta polare, gli corrispondono $n-1$ posizioni del polo $p$ (i punti comuni ad $R$ e alla prima polare di $a$), e quindi altrettanti punti $b$. Se invece si assume ad arbitrio $b$, come incontro di $R$ colla retta polare di $i$ rispetto ad una conica polare indeterminata, il polo $p$ di questa è nella prima polare di $i$ relativa alla prima polare di $b$ (69, d), cioè in una curva d'ordine $n-2$, le intersezioni della quale con $R$ sono le posizioni di $p$ corrispondenti al dato punto $b$; ond'è che a questo punto corrisponderanno $n-2$ punti $a$. Dunque il numero de' punti $p$ in $R$, pei quali $a$ e $b$ coincidono, è $(n-1)+(n-2)$; e siccome anche $j$ è un punto della curva cercata, così questa è dell'ordine $(n-1)+(n-2)+1 = 2(n-1)$. La designeremo con $L^{ij}$, perchè, ove $j$ coincida con $i$, essa rientra nella curva $L^{ii}$, già considerata (113).

Sia $p$ il punto di contatto della curva fondamentale con una tangente uscita da $i$; la retta polare di $p$ è $pi$, tangente in $p$ alla conica polare dello stesso punto $p$, onde, qualunque sia $j$, la retta $pj$ passa pel polo di $pi$. Dunque $p$ è un punto di $L^{ij}$, cioè questa linea passa per gli $n(n-1)$ punti di contatto della curva fondamentale colle tangenti che le arrivano da $i$; e per la stessa ragione passerà anche per gli $n(n-1)$ punti in cui $C_n$ è toccata da rette condotte per $j$.

Cerchiamo in quanti e quali punti la curva $L^{ij}$ incontri la prima polare di $i$ relativa alla prima polare di $j$, la quale chiameremo per brevità seconda polare mista de' punti $ij$. Se questa seconda polare mista passa per $p$, viceversa (69, d) la retta polare di $i$ rispetto alla conica polare di $p$ passa per $j$, ossia i punti $i$, $j$ sono poli coniugati (108) relativamente alla conica polare di $p$. In tal caso, affinchè le rette $pi$, $pj$ siano polari coniugate rispetto alla medesima conica, basta evidentemente che la retta polare di $p$ passi per $i$ o per $j$; epperò $p$ dovrà trovarsi o nella prima polare di $i$ o in quella di $j$. Dunque la curva $L^{ij}$ passa pei punti in cui la seconda polare mista de' punti $ij$ è segata dalle prime polari de' punti medesimi. Ora siano $p$, $o$ due punti corrispondenti dell'Hessiana e della Steineriana, tali che la retta $po$ passi per $i$. Per esprimere che, rispetto alla conica polare di $p$, le rette $pi$, $pj$ sono coniugate, basta dire che le rette polari di $p$ e $j$ (relative alla conica) concorrono in un punto di $pi$. Ma nel caso attuale, la conica polare di $p$ è un pajo di rette incrociatisi in $o$ (90, a), talché per questo punto passano le polari di $p$ e $j$ (relative alla conica medesima). E siccome anche $pi$ contiene, per ipotesi, il punto $o$, così $p$ appartiene ad $L^{ij}$, ossia questa curva passa pei $3(n-1)(n-2)$ punti dell'Hessiana, le cui indicatrici concorrono in $i$. Analogamente la curva $L^{ij}$ passa anche pei $3(n-1)(n-2)$ punti dell'Hessiana, le indicatrici de' quali partono da $j$. Dunque:

Dati due punti $i$, $j$, il luogo di un punto $p$, tale che le rette $pi$, $pj$ siano coniugate rispetto alla conica polare di $p$, è una linea dell'ordine $2(n-1)$, che passa:

1. pei punti $i$, $j$;
2. pei punti in cui la curva fondamentale è toccata dalle tangenti condotte per $i$ o per $j$;
3. pei punti in cui la prima polare di $i$ (o di $j$) è toccata da rette concorrenti in $j$ (o in $i$);
4. pei punti dell'Hessiana, le indicatrici de' quali convergono ad $i$ o a $j$.

(a) In altre parole, la linea $L^{ij}$ sega la curva fondamentale e l'Hessiana ne' punti ove queste sono toccate dalle due linee $L^{ii}$, $L^{jj}$, che dipendono separatamente dai punti $i$, $j$ (113).

(b) Se il punto $i$ è dato, mentre $j$ varii descrivendo una retta $R$, la linea $L^{ij}$ genera un fascio. Infatti, essa passa, qualunque sia $j$, per $4(n-1)^2$ punti fissi, i quali sono:

1. il punto $i$;
2. gli $n(n-1)$ punti in cui $C_n$ è toccata dalle tangenti che passano per $i$;
3. i $3(n-1)(n-2)$ punti dell'Hessiana, le cui indicatrici concorrono in $i$;
4. i $2n-3$ punti nei quali (oltre a $j$ che è variabile) $R$ sega $L^{ji}$; questi ultimi non variano, perchè sono i punti comuni a due involuzioni proiettive, indipendenti dal punto $j$.

Questa proprietà si dimostra anche cercando quante curve $L^{ij}$ passino per un dato punto $q$, quando $i$ sia fisso e $j$ debba trovarsi in una retta $R$. Siccome le rette $qi$, $qj$ devono essere coniugate rispetto alla conica polare di $q$, così il punto $j$ sarà l'intersezione di $R$ colla retta che congiunge $q$ al polo di $qi$ relativo a quella conica. Dunque ecc.

Nello stesso modo si dimostra che, se $i$ è fisso, le curve $L^{ij}$ passanti per uno stesso punto $q$ formano un fascio; cioè per due punti dati $q$, $q'$ passa una sola curva $L$ relativa al punto fisso $i$; ecc.

117. La precedente ricerca (116) può essere generalizzata, assumendo una curva-inviluppo invece del punto $j$, od anche una seconda curva invece di $i$, ovvero una sola curva in luogo del sistema dei due punti.

Data una curva $K_r$ della classe $r$ e dato un punto $i$, vogliasi determinare il luogo di un punto $p$ tale che la retta $pi$ sia, rispetto alla conica polare di $p$, coniugata ad alcuna delle tangenti che da $p$ ponno condursi a $K_r$: ovvero con altre parole, la retta $pi$ passi per alcuno de' punti in cui la retta polare di $p$ taglia la curva polare reciproca di $K_r$ rispetto alla conica polare di $p$ (110).

La curva richiesta passa $r$ volte per $i$, giacché se il punto $p$ cade in $i$, sonvi $r$ rette $pi$ sodisfacenti all'anzidetta condizione: quelle cioè che da $i$ vanno agli $r$ punti in cui la retta polare di $p$ taglia la polare reciproca di $K_r$ (relativa alla conica polare di $i$).

Sia $p$ un punto di $C_n$; la retta polare di $p$ sarà la tangente alla curva fondamentale nel punto medesimo. Laonde se questa retta tocca anche $K_r$, $p$ sarà un punto della polare reciproca di $K_r$ (relativa alla conica polare di $p$) e siccome, qualunque sia $i$, la retta $pi$ passa per $p$, punto comune alla detta polare reciproca ed alla retta polare di $p$, così questo punto apparterrà al luogo richiesto. Ond'è che questo luogo contiene gli $rn(n-1)$ punti di contatto della curva fondamentale colle tangenti comuni a $K_r$.

Se invece $p$ appartiene a $C_n$ e $pi$ è tangente a questa curva in $p$, la stessa retta $pi$ è la polare di $p$; ma essa incontra in $r$ punti la polare reciproca di $K_r$, dunque $p$ è un punto multiplo secondo $r$ per la curva richiesta. Questa ha pertanto $n(n-1)$ punti $(r)$^pli, e son quelli ove $C_n$ è toccata da tangenti che concorrono in $i$.

Sia $p$ un punto dell'Hessiana, $o$ il corrispondente punto della Steineriana. Se $po$ è tangente alla data curva $K_r$, essa sarà coniugata alla retta $pi$ rispetto alla conica polare di $p$ ; infatti, sì quella tangente che le polari dei punti $p$, $i$, relative a questa conica, concorrono nel punto $o$. Donde s'inferisce che $p$ è un punto del luogo che si considera; vale a dire, questo luogo passa pei $3r(n-1)(n-2)$ punti dell'Hessiana, le indicatrici de' quali toccano $K_r$.

Siano ancora $p$, $o$ punti corrispondenti dell'Hessiana e della Steineriana; ma $po$ passi per $i$. Allora, siccome la conica polare di $p$ è un pajo di rette incrociate in $o$, così la polare reciproca di $K_r$ rispetto a tale conica sarà (110, a) un fascio di $r$ rette concorrenti in $o$. Ond'è che il punto $o$ rappresenta $r$ intersezioni sì della retta $pi$ che della retta polare di $p$ colla polare reciproca di $K_r$, e per conseguenza $p$ tien luogo di $r$ punti consecutivi comuni alla curva richiesta ed all'Hessiana. Dunque il luogo geometrico, del quale si tratta, ha un contatto $(r)$^punto [89] coll'Hessiana in ciascuno dei $3(n-1)(n-2)$ punti le cui indicatrici passano per $i$.

Passiamo da ultimo a determinare l'ordine della curva in questione. Sia $R$ una retta arbitraria condotta per $i$, e $p$ un punto in $R$. La retta polare di $p$ incontri $R$ in $a$, e la polare reciproca di $K_r$ (rispetto alla conica polare di $p$) seghi $R$ in $r$ punti $b$. Se si assume ad arbitrio $a$, vi corrispondono $n-1$ posizioni di $p$ (le intersezioni di $R$ colla prima polare di $a$) e quindi $r(n-1)$ posizioni di $b$. Se invece si assume ad arbitrio $b$, come incontro di $R$ colla polare reciproca di $K_r$ rispetto alla conica polare di un polo indeterminato, questo polo giace (104, k) nella prima polare di $K_r$ relativa alla prima polare di $b$; la qual curva essendo (104, d) dell'ordine $r(n - 2)$ sega $R$ in altrettanti punti $p$, ed a ciascuno di questi corrisponde un punto $a$. Così ad ogni punto $a$ corrispondono $r(n-1)$ punti $b$, ed ogni punto $b$ individua $r(n - 2)$ punti $a$; onde la coincidenza di un punto $a$ con uno dei corrispondenti punti $b$ avverrà $r(n-1)+r(n-2)$ volte. Ma ove tale coincidenza si verifichi, il punto $p$ appartiene alla curva cercata. Questa ha dunque $r(2n-3)$ punti in $R$, oltre al punto $i$ che è multiplo secondo $r$; vale a dire, essa è dell'ordine $2r(n-1)$.

(a) Analogamente si dimostra che:

Date due curve $K_r$, $K_s$, le cui classi siano $r$, $s$, il luogo di in punto $p$ tale che due tangenti condotte per esso, l'una a $K_r$, l'altra a $K_s$, siano coniugate rispetto alla conica polare dello stesso punto $p$, è una linea dell'ordine $2rs(n - 1)$, la quale

1. passa $s$ volte per ciascuno degli $rn(n-1)$ punti in cui la curva fondamentale $C_n$ è toccata da rette tangenti di $K_r$;
2. passa $r$ volte per ciascuno degli $sn(n-1)$ punti in cui $C_n$ è toccata da rette tangenti di $K_s$;
3. ha coll'Hessiana un contatto $(s)$^punto in ciascuno dei $3r(n-1)(n-2)$ punti le cui indicatrici toccano $K_r$;
4. ha coll'Hessiana medesima un contatto $(r)$^punto in ciascuno dei $3s(n-1)(n-2)$ punti le indicatrici dei quali sono tangenti a $K_s$.

(b) Se invece è dato un solo inviluppo $K_r$ della classe $r$, e si cerca il luogo di un punto $p$ tale che due tangenti condotte da esso a $K_r$ siano coniugate rispetto alla conica polare di $p$, si trova una linea dell'ordine $rn(r-1)(n-1)$, la quale passa $r-1$ volte per ciascuno degli $rn(n-1)$ punti ove la curva fondamentale è toccata da rette tangenti di $K_r$, ed ha un contatto $(r-1)$^punto coll'Hessiana in ciascuno de' $3r(n-1)(n-2)$ punti di questa curva, le indicatrici de' quali toccano $K_r$.

Note