Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data

Art. 17. Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 17. Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data

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Applicazione alle curve di second'ordine

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103. Se un punto, considerato come polo rispetto alla curva fondamentale $C_n$, percorre un'altra curva data $C_m$ d'ordine $m$, la retta polare inviluppa una curva $K$, la quale abbiamo già trovato (81) essere della classe $m(n-1)$. Le tangenti che da un punto qualunque $o$ si possono condurre a $K$ sono le rette polari degli $m(n - 1)$ punti, ne' quali $C_m$ è intersecata dalla prima polare di $o$.

(a) Se $o$ è tal punto che la sua prima polare sia tangente a $C_m$, due rette polari passanti per $o$ sono coincidenti, cioè $o$ è un punto della curva $K$ (30); questa è dunque il luogo geometrico de' poli le cui prime polari toccano $C_m$. Questa proprietà ci mette in grado di trovare l'ordine di $K$, cioè il numero de' punti in cui $K$ è incontrata da una retta arbitraria $L$. Le prime polari de' punti di $L$ formano un fascio (77); onde, supposto che $C_m$ abbia $\delta$ punti doppi, e $\chi$ cuspidi, vi saranno $m(m+2n-5) - (2\delta +3\chi)$ punti in $L$, le cui prime polari sono tangenti a $C_m$ (87, c). Dunque $K$ è dell'ordine $m(m+2n - 5) - (2\delta + 3\chi)$ <cioè $2m(n - 2) + M$, ove $M$ è la classe di $C_m$> [83].

E poi evidente che le tangenti stazionarie di $K$ sono le rette polari de' punti stazionari di $C_m$; donde segue che $K$ ha $\chi$ flessi.

Conoscendo così la classe, l'ordine ed il numero de' flessi della curva $K$, mediante le formule di Plücker (99, 100) troveremo che essa ha inoltre:

$\frac{1}{2}\left (m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi) \right)^2- m(5m+6n-21) + 10\delta +\frac{27}{2}\chi$

punti doppi,

$3m(m+n-4) - (6\delta + 8\chi)$

cuspidi e

$\frac{1}{2} m(n - 2) (mn - 3) + \delta$

tangenti doppie.

(b) È manifesto che ogni punto doppio di $K$ è il polo di una prima polare tangente a $C_m$ in due punti distinti; che ogni cuspide di $K$ è il polo di una prima polare avente con $C_m$ un contatto tripunto; e che ogni tangente doppia di $K$ è una retta avente o due poli distinti sulla curva $C_m$, o due poli riuniti in un punto doppio di questa curva.

Siccome le proprietà del sistema delle prime polari (relative a $C_n$) valgono per una rete qualsivoglia di curve [84], così da quanto precede si raccoglie:

1.° Il numero delle curve d'una rete d'ordine $n - 1$, le quali abbiano doppio contatto con una data linea d'ordine $m$, fornita di $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, è

$\frac{1}{2}\left (m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi) \right)^2- m(5m+6n-21) + 10\delta +\frac{27}{2}\chi$

2.° Il numero delle curve della stessa rete aventi coll'anzidetta linea d'ordine $m$ un contatto tripunto è $3m(m+n - 4) - (6\delta + 8\chi)$.

(c) Ogni punto della curva $K$ è polo di una prima polare tangente a $C_m$; onde, considerando le intersezioni delle curve $K$ e $C_m$, si ha:

In una curva $C_m$ dell'ordine $m$, dotata di $\delta$ punti doppi e di $\chi$ cuspidi, vi sono $m^2(m+2n- 5) - m(2\delta+3\chi)$ punti, le cui prime polari relative alla curva fondamentale $C_n$ toccano la medesima $C_m$.

Di qui per $m = 1$ si ricava:

In una retta qualunque vi sono $2(n- 2)$ punti, le cui prime polari relative alla curva fondamentale $C_n$ toccano la retta medesima.

Se la retta è tangente a $C_n$, nel contatto coincidono due di quei $2(n - 2)$ poli. Dunque in una retta tangente a $C_n$ esistono $2(n-3)$ punti, ciascun de' quali è polo di una prima polare tangente in altro punto alla retta medesima.

(d) Se nella ricerca superiore, la curva $C_m$ si confonde con $C_n$, la linea $K$ si compone evidentemente della $C_n$ medesima e delle sue tangenti stazionarie, perchè ogni punto di quella e di queste è polo di una prima polare tangente alla curva fondamentale (71, 80). In tal caso, i punti doppi di $K$ sono le intersezioni delle tangenti stazionarie fra loro e colla curva $C_n$; le cuspidi di $K$ sono rappresentate dai flessi di $C_n$, ciascuno contato due volte; e le tangenti doppie di $K$ sono le stazionarie e le doppie di $C_n$.

I punti doppi di $K$ sono (b) i poli d'altrettante prime polari doppiamente tangenti alla curva fondamentale. Ed invero: se $o$ è un punto comune a due tangenti stazionarie di questa, la prima polare di $o$ tocca $C_n$ ne' due flessi corrispondenti (80); e se $o$ è un punto di segamento di $C_n$ con una sua tangente stazionaria, la prima polare di $o$ tocca $C_n$ in $o$ (71) e nel punto di contatto di questa tangente (80). Sonvi adunque $3n(n - 2)(n - 3)$ prime polari doppiamente tangenti a $C_n$, i cui poli giacciono in $C_n$ medesima; e vi sono altre $\tfrac{3}{2}n(n - 2)(3n(n - 2)-1)$ prime polari pur doppiamente tangenti, i cui poli sono fuori di $C_n$.

(e) La curva $K$, inviluppo delle polari $(n - 1)$^me de'punti di $C_m$, si chiamerà l'$(n - 1)$^ma polare di $C_m$.

Facendo $m=1$, troviamo che l'$(n - 1)$^ma polare di una retta $R$, cioè l'inviluppo delle rette polari de' punti di $R$, od anche il luogo de' poli delle prime polari tangenti ad $R$, è una curva della classe $n - 1$ e dell'ordine $2(n - 2)$, con $3(n - 3)$ cuspidi, $2(n - 3)(n - 4)$ punti doppi ed $\tfrac{(n-2)(n-3)}{2}$ tangenti doppie; cioè:

Vi sono $3 (n - 3)$ prime polari, per le quali una data retta $R$ è una tangente stazionaria; $2(n- 3)(n - 4)$ prime polari, per le quali $R$ è una tangente doppia; ed inoltre $\tfrac{1}{2}(n - 2)(n-3)$ rette, ciascuna delle quali ha due poli in $R$.

(f) Se l'$(n-1)$^ma polare della retta $R$ passa per un dato punto $o$, questo è il polo di una prima polare tangente ad $R$ (e); talché se l'$(n-1)$^ma polare varia girando intorno al punto fisso $o$, la retta $R$ invilupperà la prima polare di $o$. Così abbiamo due definizioni della prima polare di un punto:

La prima polare di un punto $o$ è il luogo de' poli le cui l'$(n-1)$^me polari s'incrociano in $o$, ed è anche l'inviluppo delle rette le cui l'$(n-1)$^me polari passano per $o$.

104. Supposto che un polo $p$ percorra una data curva $C_m$ d'ordine $m$, avente $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, di qual indice è la serie (34) generata dalla polare $(r)$^ma di $p$ rispetto alla linea fondamentale $C_n$, e quale ne sarà l'inviluppo?

(a) Se la polare $(r)$^ma di $p$ passa per un punto $o$, il polo sarà nella polare $(n-r)$^ma di $o$ (69, a), cioè sarà una delle $rm$ intersezioni di questa polare colla proposta curva $C_m$. Dunque per $o$ passano $rm$ polari $(r)$^me di punti situati in $C_m$, cioè le polari $(r)$^me de' punti di $C_m$ formano una serie d'indice $rm$.

(b) Se $(n-r)$^ma polare di $o$ tocca in un punto $C_m$, avremo in $o$ due $(r)$^me polari coincidenti, ossia $o$ sarà un punto della linea inviluppata dalle curve della serie anzidetta. Dunque:

L'inviluppo delle polari $(r)$^me de' punti di una curva $C_m$ è anche il luogo de' poli delle polari $(n-r)$^me tangenti a $C_m$.

(c) Quale è l'ordine di questo luogo? Ovvero, quanti punti vi sono in una retta arbitraria $L$, le polari $(n-r)$^me de' quali tocchino $C_m$? Le polari $(n-r)$^me de' punti di una retta $L$ formano (a) una serie d'ordine $r$ e d'indice $n - r$; epperò (87, c) ve ne sono $(n - r)\left( m(m + 2r-3) - (2\delta + 3\chi)\right)$ che toccano $C_m$. Donde segue che:

L'inviluppo delle polari $(r)$^me de' punti di una curva d'ordine $m$, dotata di $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, è una linea dell'ordine $(n - r)\left( m(m + 2r-3) - (2\delta + 3\chi)\right)$.

Questa linea si denominerà polare $(r)$^ma della data curva $C_m$ rispetto alla curva fondamentale $C_n$.

(d) Fatto $r=1$ ed indicata con $m'$ la classe di $C_m$, cioè posto $m'=m(m-1)-(2\delta+3\chi)$ (99), si ha:
La prima polare di una curva della classe $m'$, cioè il luogo dei poli delle rette tangenti di questa, è una linea dell'ordine $m'(n-1)$.

Questa linea passa pei punti ove la curva fondamentale è toccata dalle tangenti comuni ad essa ed alla curva della classe $m'$.

Se $m'=1$, ricadiamo nella definizione della prima polare di un punto (103, f).

(e) Posto $m=1$, troviamo che la polare $(r)$^ma di una retta è una linea dell'ordine $2(r-1)(n-r)$. Quindi la prima polare di una retta è dell'ordine zero; infatti essa è costituita dagli $(n-1)^2$ poli della retta data (77).

Per $r = n - 1$, si ricade in un risultato già ottenuto (103, e).

(f) L'ordine della linea polare $(r)$^ma di una retta $R$ si può determinare direttamente come segue. A tal uopo consideriamo quella linea come luogo de' punti comuni a due curve successive della serie d'indice $r$ e d'ordine $n - r$, formata dalle polari $(r)$^me de' punti di $R$ (34).

Se $a$ è un punto qualunque di $R$, le polari $(r)$^me passanti per $a$ hanno i loro rispettivi poli nella polare $(n-r)$^ma di $a$, la quale sega $R$ in $r$ punti $a'$. Se invece assumiamo ad arbitrio un punto $a'$, la sua polare $(r)$^ma sega $R$ in $n - r$ punti $a$; talché, riferiti i punti $a, \, a'$ ad una stessa origine $o$, fra i segmenti $oa,\, oa'$ avrà luogo un'equazione del grado $r$ in $oa'$ e del grado $n - r$ in $oa$. Il punto $a$ apparterrebbe alla linea cercata, se due delle $r$ polari $(r)$^me passanti per esso fossero coincidenti. Ma la condizione perchè l'equazione anzidetta dia due valori eguali per $oa'$ è del grado $2(r- 1)$ rispetto ai coefficienti della medesima, e per conseguenza del grado $2(r-1)(n-r)$ rispetto ad $oa$. Sono adunque $2(r-1)(n-r)$ i punti comuni al luogo richiesto ed alla retta $R$; ossia l'inviluppo delle polari $(r)$^me de' punti di una retta data è una linea dell'ordine $2(r-1)(n-r)$.

Le stesse considerazioni si possono applicare, in molti casi, alla ricerca dell'ordine della linea che inviluppa le curve d'una data serie. Per esempio, se la serie è d'indice $r$ e d'ordine $s$, e se si può assegnare una punteggiata projettiva alla serie (cioè se fra le curve della serie e i punti di una retta si può stabilire tale corrispondenza che ad ogni punto della retta corrisponda una curva della serie, e viceversa), l'inviluppo sarà dell'ordine $2(r-1)s$. Di qui per $s = 1$ si ricava:

Se una curva della classe $r$ è tale che si possa assegnare una punteggiata projettiva alla serie delle sue tangenti, l'ordine della curva è solamente $2(r-1)$.

(g) Se la polare $(n-r)$^ma di una retta passa per un dato punto $o$, questo è (b) il polo di una polare $(r)$^ma tangente a quella retta. Dunque:

La polare $(r)$^ma di un punto $o$, ossia il luogo de' punti le cui $(n-r)$^me polari passano per $o$, è anche l'inviluppo delle rette le polari $(n-r)$^me delle quali contengono il punto $o$.

Così le polari de' punti e delle linee sono definite in doppio modo, e come luoghi e come inviluppi. Egli è appunto in questa doppia definizione che sembra risiedere il segreto della grande fecondità della teoria delle curve polari.

(h) La polare $(r)$^ma di una curva $C$ tocchi un'altra curva $C'$ nel punto $o$. In $o$ quella polare toccherà la polare $(r)$^ma di un punto $o'$ di $C$ ; e viceversa (b) in $o'$ la curva $C$ sarà toccata dalla polare $(n-r)$^ma di $o$. Ma la polare $(r)$^ma di $o'$ tocca in $o$ anche $C'$; dunque la polare $(n-r)$^ma di $o$ toccherà in $o'$ la polare $(n-r)$^ma di $C'$; ossia:

Se la polare $(r)$^ma di una curva $C$ tocca un'altra curva $C'$, reciprocamente la polare $(n-r)$^ma di $C'$ tocca $C$.

(k) Una retta $R$ sia l'$(r-1)$^ma polare di un punto $o$ rispetto all'$(n-r)$^ma polare di un altro punto $o'$ ovvero, ciò che è la medesima cosa (69, c), la polare $(n-r)$^ma di $o'$ rispetto alla polare $(r-1)$^ma di $o$. Se $R$ varia ed inviluppa una curva qualunque $C$, restando fisso il punto $o'$, il luogo del punto $o$ sarà (d) la prima polare di $C$ rispetto all'$(n-r)$^ma polare di $o'$. Se invece resta fisso il punto $o$, mentre $R$ inviluppa la curva $C$, il luogo di $o'$ sarà la prima polare di $C$ rispetto all'$(r-1)$^ma polare di $o$. Dunque:

Se la prima polare di una curva $C$ rispetto all'$(r-1)$^ma polare di un punto $o$ passa per un altro punto $o'$, la prima polare di $C$ rispetto all'$(n-r)$^ma polare di $o'$ passerà per $o$; e viceversa.

105. L'$(n-1)$^ma polare di una curva $C_m$ d'ordine $m$ è (81) una linea $K$ della classe $m(n - 1)$. Reciprocamente, la prima polare di $K$ sarà (104, d) una linea dell'ordine $m(n- 1)^2$. Questa linea comprende in sè la data curva $C_m$, perchè $K$ è non solo l'inviluppo delle rette polari dei punti di $C_m$, ma anche il luogo de' poli delle prime polari tangenti a $C_m$ (103, a). Dunque, allorché un punto $o$ percorre la curva $C_m$, gli altri $(n-1)^2-1$ poli della retta polare di $o$ descriveranno una linea dell'ordine $m(n-1)^2-m= mn (n - 2)$.

A questo risultato si arriva anche cercando la soluzione del problema: quando un punto $o$ percorre una data linea, quale è il luogo degli altri poli della retta polare di $o$? Supposto dapprima che la data linea sia una retta $R$, cerchiamo in quanti punti essa seghi il luogo richiesto. Siccome (103, e) vi sono $\tfrac{1}{2} (n - 2) (n - 3)$ rette, ciascuna delle quali ha due poli in $R$, così gli $(n - 2)(n - 3)$ poli di tali rette sono altrettanti punti del luogo. Inoltre ricordiamo (90, b) che in ogni punto dell'Hessiana coincidono due poli d'una medesima retta, talché le $3(n - 2)$ intersezioni dell'Hessiana con $R$ sono comuni al luogo di cui si tratta. Questo luogo ha dunque $(n - 2) (n - 3) + 3 (n-2)$ punti comuni con $R$, vale a dire, esso è dell'ordine $n(n - 2)$.

Se invece è data una linea $C_m$ dell'ordine $m$, assunta un'arbitraria retta $R$, cerchiamo quante volte avvenga che una stessa retta abbia un polo in $R$ ed un altro in $C_m$. I poli congiunti ai punti di $R$ sono, come or si è dimostrato, in una linea dell'ordine $n(n - 2)$, la quale sega $C_m$ in $mn(n- 2)$ punti. Dunque vi sono $mn(n- 2)$ punti in $C_m$, ciascun de' quali ha un polo congiunto in $R$; ossia:

Se un polo descrive una curva d'ordine $m$, il luogo degli altri poli congiunti è una linea dell'ordine $mn(n-2)$. [85]

106. Imaginiamo un polo che si muova percorrendo una data curva $C_m$ d'ordine $m$; quale sarà il luogo delle intersezioni della prima colla seconda polare del polo mobile, rispetto alla curva fondamentale $C_n$? Assunta una retta arbitraria $R$, se per un punto $i$ di essa passa una prima polare, il polo giace nella retta polare di $i$; questa retta sega $C_m$ in $m$ punti, le seconde polari dei quali incontreranno $R$ in $m(n - 2)$ punti $i'$. Se invece si assume ad arbitrio in $R$ un punto $i'$ pel quale debba passare una seconda polare, il polo sarà nella conica polare di $i'$, che taglia $C_m$ in $2m$ punti; le prime polari di questi determinano in $R$ $2m(n-1)$ punti $i$. Così vediamo che ad ogni punto $i$ corrispondono $m(n - 2)$ punti $i'$, mentre ad ogni punto $i'$ corrispondono $2m(n- 1)$ punti $i$; talché (83) vi saranno (in $R$) $m(n - 2)+2m(n-1) = m(3n - 4)$ punti $i$, ciascun de' quali coincida con uno de' corrispondenti $i'$; cioè il luogo richiesto è una curva $U$ dell'ordine $m(3n- 4)$. Evidentemente questa curva tocca $C_n$ negli $mn$ punti comuni a $C_m$ e $C_n$ perchè in ciascuno di questi punti le polari prima e seconda si toccano fra loro e toccano $C_n$ (71).

Inoltre, siccome per un flesso della curva fondamentale passa la prima e la seconda polare di ogni punto della relativa tangente stazionaria (80), così la curva $U$ passerà pel flesso di $C_n$ tante volte quanti sono i punti comuni a $C_m$ ed alla tangente stazionaria. Dunque la curva $U$ passa $m$ volte per ciascuno dei $3n(n - 2)$ flessi di $C_n$.

(a) Se $C_m$ coincide con $C_n$, la linea $U$ contiene manifestamente due volte la curva fondamentale; prescindendo da questa, rimarrà una curva dell'ordine $3n(n - 2)$, per la quale i flessi di $C_n$ sono punti $(n-2)$^pli. Dunque, se un polo percorre la curva fondamentale, gli $(n - 1)(n - 2) - 2$ punti in cui si segano le polari prima e seconda generano una linea dell'ordine $3n(n - 2)$, avente $n - 2$ branche passanti per ciascun flesso di $C_n$, una delle quali ha ivi con $C_n$ un contatto tripunto. Il che riesce evidente, considerando che ogni tangente stazionaria della curva fondamentale ha con questa $n - 2$ punti comuni, cioè il flesso ed $n - 3$ intersezioni semplici.

(b) Analogamente si dimostra che, se il polo percorre la curva $C_m$, le intersezioni delle polari $(r)$^ma ed $(s)$^ma descrivono una linea dell'ordine $mn(r+s) - 2mrs$, la quale tocca la curva fondamentale ne' punti comuni a questa ed a $C_m$, È da notarsi che il numero $mn(r+s) - 2mrs$ non cambia sostituendo $n - r$, $n - s$ ad $r$, $s$.

Note