Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari

Art. 13. Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 13. Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari

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Costruzione della curva di terz'ordine determinata da nove punti

Teoremi relativi ai sistemi di curve

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68. Sia data una linea piana $C_n$ dell'ordine $n$, e sia $o$ un punto fissato ad arbitrio nel suo piano. Se intorno ad $o$ si fa girare una trasversale che in una posizione qualunque seghi $C_n$ in $n$ punti $a_1a_2\dots a_n$, il luogo de' centri armonici, di grado $r$, del sistema $a_1a_2\dots a_n$ rispetto al polo $o$ (11) sarà una curva dell'ordine $r$, perchè essa ha $r$ punti sopra ogni trasversale condotta per $o$. Tale curva si dirà polare $(n - r)$^esima del punto $o$ rispetto alla curva data (curva fondamentale).

Così il punto $o$ dà origine ad $n - 1$ curve polari relative alla linea data. La prima polare è una curva d'ordine $n - 1$ ; la seconda polare è dell'ordine $n - 2$ ; ecc. L'ultima od $(n-1)$^ma polare, cioè il luogo dei centri armonici di primo grado, è una retta.

69. I teoremi altrove dimostrati (Art. III), pei centri armonici di un sistema di $n$ punti in linea retta, si traducono qui in altrettante proprietà delle curve polari relative alla curva data.

(a) Il teorema (12) può essere espresso così: se $m$ è un punto della polare $(n - r)$^ma di $o$, viceversa $o$ è un punto della polare $(r)$^ma di $m$.

Ossia:

Il luogo di un polo, la cui polare $(r)$^ma passi per un dato punto $o$, è la polare $(n-r)$^ma di $o$.

Per esempio: la prima polare di $o$ è il luogo de' poli le rette polari de' quali passano per $o$; la seconda polare di $o$ è il luogo de' poli le cui coniche polari passano per questo punto; ecc. (b) Dal teorema (13) segue immediatamente che:

Un polo qualsivoglia $o$ ha la stessa polare d'ordine $s$ [63] rispetto alla data linea $C_n$ e rispetto ad ogni curva polare d'ordine più alto, dello stesso punto $o$, considerata come curva fondamentale.

Dunque: la seconda polare di $o$ rispetto a $C_n$ è la prima polare di $o$ relativa alla prima polare del punto stesso presa rispetto a $C_n$; la terza polare è la prima polare relativa alla seconda polare ed anche la seconda polare relativa alla prima polare; ecc.

(c) Il teorema (14) somministra [64] il seguente:

La polare $(r')$^ma di un punto $o'$ rispetto alla polare $(r)$^ma di un altro punto $o$ (relativa a $C_n$) coincide colla polare $(r)$^ma di $o$ rispetto alla polare $(r')$^ma di $o'$ (relativa a $C_n$).

Questo teorema è, come apparirà in seguito, fecondo di molte conseguenze. Ecco intanto una proprietà che emerge spontanea dal confrontarlo col teorema (69, a).

(d) Supponiamo che la polare $(r')$^ma di $o'$ rispetto alla polare $(r)$^ma di $o$ passi per un punto $m$, ossia che la polare $(r)$^ma di $o$ rispetto alla polare $(r')$^ma di $o'$ passi per $m$. Dal teorema (69, a) segue che la polare $((n- r') -r)$^ma di $m$ rispetto alla polare $(r')$^ma di $o'$ passerà per $o$, ossia che la polare $(r')$^ma di $o'$ rispetto alla polare $((n-r') - r)$^ma di $m$ passa per $o$. Dunque:

Se la polare $(r')$^ma di $o$ rispetto alla polare $(r)$^ma di $o$ passa per $m$, la polare $(r')$^ma di $o'$ rispetto alla polare $(n - r - r')$^ma di $m$ passa per $o$.

70. Tornando alla definizione (68), se il polo $o$ è preso nella curva fondamentale, talché esso tenga luogo di uno degli $n$ punti $a_1 a_2\dots a_n$, il centro armonico di primo grado si confonderà con $o$. Ma se la trasversale è tangente alla curva in $o$, due de' punti $a_1a_2\dots a_n$ coincidono con $o$; onde, riuscendo indeterminato il centro armonico di primo grado, può assumersi come tale un punto qualunque della trasversale (17). Questa è dunque, nel caso attuale, il luogo de' centri armonici di primo grado; vale a dire: la retta polare di un punto della curva fondamentale è la tangente in questo punto.

Quando il polo non giaccia nella curva fondamentale, ma la trasversale le sia tangente, due de' punti $a_1a_2\dots a_n$ coincidono nel punto di contatto; epperò questo sarà (16) un centro armonico di grado $n-1$, ossia un punto della prima polare. Dunque: la prima polare di un punto qualunque sega la curva fondamentale ne' punti ove questa è toccata dalle rette tangenti che passano pel polo.

La prima polare è una curva dell'ordine $n - 1$, talché segherà $C_n$ in $n(n - 1)$ punti. Donde s'inferisce che da un punto qualunque si possono condurre $n(n-1)$ tangenti alla curva fondamentale, ossia:

Una curva dell'ordine $n$ è, in generale, della classe $n(n-1)$.

71. Se il polo $o$ è preso nella curva fondamentale, qualunque sia la trasversale condotta per $o$, una delle intersezioni $a_1a_2\dots a_n$ coincide con $o$ medesimo; onde (17) $o$ sarà un centro armonico, di ciascun grado, del sistema $a_1a_2\dots a_n$ rispetto al polo $o$. E ciò torna a dire che tutte le polari di $o$ dalla prima sino all'$(n-1)$^ma passano per questo punto.

Ma v'ha di più. Se la trasversale è tangente a $C_n$ in $o$, in questo sono riuniti due punti $a$, quindi anche (17) due centri armonici di grado qualunque; cioè la curva fondamentale è toccata in $o$ da tutte le polari di questo punto.

Dallo stesso teorema (17) segue ancora che la prima polare di un punto $o$ della curva fondamentale è il luogo de' centri armonici di grado $n - 2$, relativi al polo $o$, del sistema di $n - 1$ punti in cui $C_n$ è incontrata da una trasversale variabile condotta per $o$. Gli $n(n - 1) - 2$ punti in cui la prima polare di $o$ sega $C_n$ (oltre ad $o$, ove queste curve si toccano) sono i punti di contatto delle rette che da $o$ si possono condurre a toccare altrove la curva data.

72. Supponiamo che la curva $C_n$ abbia un punto $d$ multiplo secondo il numero $r$. Ogni retta condotta per $d$ sega ivi la curva in $r$ punti coincidenti, epperò (17) $d$ sarà un punto $(r)$^plo per ciascuna polare del punto stesso.

Ciascuna delle tangenti agli $r$ rami di $C_n$ incontra questa curva in $r + 1$ punti coincidenti in $d$ (31); onde considerando la tangente come una trasversale (68), in $d$ coincidono $r+1$ punti $a$, epperò anche $r+1$ centri armonici di qualunque grado, rispetto al polo $d$ (17). Dunque le $r$ tangenti di $C_n$ nel suo punto multiplo $d$ toccano ivi anche gli $r$ rami di qualunque curva polare di $d$.

Ne segue che le polari $(n -1)$^ma, $(n - 2)$^ma, ... $(n - r+1)$^ma del punto $d$ sono indeterminate, e la polare $(n-r)$^ma del punto stesso è il sistema delle $r$ tangenti dianzi considerate (31).

Quest'ultima proprietà si rende evidente anche osservando che, risguardata la tangente in $d$ ad un ramo di $C_n$ come una trasversale condotta pel polo $d$ (68), vi sono $r+1$ punti $a$ coincidenti insieme col polo, onde qualunque punto della trasversale potrà essere assunto come centro armonico di grado $r$ (17). Cioè il fascio delle tangenti agli $r$ rami di $C_n$ costituisce il luogo dei centri armonici di grado $r$, rispetto al polo $d$.

73. Sia $o$ un polo dato ad arbitrio nel piano della curva $C_n$, dotata di un punto $d$ multiplo secondo $r$. Condotta la trasversale $od$, $r$ punti $a$ coincideranno in $d$; quindi (16) questo medesimo punto terrà luogo di $r-s$ centri armonici del grado $n - s$ ($s<r$).

<Da ciò segue che la polare $(s)$^ma di $o$ passa per $d$. La polare $[(n - s) - (r-s)]$^ma di $d$ rispetto alla polare $(s)$^ma di $o$ coincide [69, c] colla polare $(s)$^ma di $o$ rispetto alla polare $(n-r)$^ma di $d$; ma quest'ultima è il sistema di $r$ rette incrociate in $d$; dunque [65] la polare $[(n-s) - (r - s)]$^ma di $d$ rispetto alla polare $(s)$^ma di $o$ consta di $r-s$ rette per $d$. Cioè [cfr. nota al n.° preced.] $d$ è un punto $(r-s)$^plo per la polare $(s)$^ma di $o$, e le tangenti a questa in $d$ sono le $r - s$ rette formanti la polare $(s)$^ma di $o$ rispetto al fascio delle $r$ tangenti di $C_n$ in $d$.> Ossia:

Un punto $(r)$^plo della curva fondamentale è multiplo secondo $r - s$ per la polare $(s)$^ma di qualsivoglia polo. [66]

(a) Applichiamo le cose premesse al caso che $C_n$ sia il sistema di $n$ rette concorrenti in uno stesso punto $d$. Questo, essendo un punto $(n)$^plo pel luogo fondamentale, sarà multiplo secondo $n - 1$ per la prima polare di un punto qualunque $o$; la quale sarà per conseguenza composta di $n-1$ rette incrociantisi in $d$.

Condotta pel polo $o$ una trasversale qualunque che seghi le $n$ rette date in $a_1a_2\dots a_n$, se $m_1m_2\dots m_{n-1}$ sono i centri armonici di grado $n-1$, le rette $d(m_1m_2\dots m_{n-1})$ costituiranno la prima polare di $o$ (20). Questa prima polare non cambia (18), quando il polo $o$ varii mantenendosi sopra una retta passante per $d$.

Se fra le $n$ rette date ve ne sono $s$ coincidenti in una sola $da$, nel punto $a$ saranno riuniti (16) $s-1$ centri armonici di grado $n- 1$, epperò $s- 1$ rette $dm$ coincideranno in $da$, qualunque sia $o$.

(b) Come caso particolare, per $n=2$ si ha:

Se la linea fondamentale è un pajo di rette $d(a_1, \, a_2)$, la polare di un punto $o$ è la retta coniugata armonica di $do$ rispetto alle due date. E se queste coincidono, con esse si confonde anche la polare, qualunque sia il polo.

74. Ritorniamo ad una curva qualunque $C_n$ dotata di un punto $(r)$^plo $d$. Assunto un polo arbitrario $o$, la prima polare di questo passerà $r-1$ volte per $d$ (73); e le $r$ rette tangenti a $C_n$ in $d$ costituiranno l'$(n - r)$^ma polare del medesimo punto $d$ (72). Analogamente le $r- 1$ tangenti in $d$ alla prima polare di $o$ formano l'$((n-1) - (r- 1))$^ma polare di $d$ rispetto alla prima polare di $o$, ossia, ciò che è lo stesso (69, c), la prima polare di $o$ rispetto all'$(n- r)$^ma polare di $d$. Dunque (73, a): Se la curva fondamentale ha un punto $(r)$^plo $d$, le tangenti in $d$ alla prima polare di un polo qualunque $o$ sono le $r - 1$ rette, il cui sistema è la prima polare di $o$ rispetto al fascio delle $r$ tangenti alla curva fondamentale in $d$.

(a) Di qui s'inferisce, in virtù del teorema (73, a), che le prime polari di tutt'i punti di una retta passante per $d$ hanno in questo punto le stesse rette tangenti.

(b) Inoltre, se $s$ tangenti di $C_n$ nel punto multiplo $d$ coincidono in una sola retta, in questa si riuniranno anche $s-1$ tangenti della prima polare di $o$ (73, a); onde, in tal caso, $d$ rappresenta $r(r-1) + s-1$ intersezioni di $C_n$ colla medesima prima polare (32). Il numero delle intersezioni rimanenti è $n(n - 1) - r(r-1) - (s-1)$; perciò questo numero esprime quante tangenti (70) si possono condurre dal punto $o$ alla curva fondamentale (supposto però che questa non abbia altri punti multipli). In altre parole:

Se la curva fondamentale ha un punto multiplo secondo $r$, con $s$ tangenti sovrapposte, la classe della curva è diminuita di $r(r-1) + s-1$ unità.

(c) Queste proprietà generali, nel caso $r = 2$, $s=1$ e nel caso $r = 2$, $s = 2$, danno (73, b):

Se la curva fondamentale ha un punto doppio $d$, la prima polare di un polo qualunque $o$ passa per $d$ ed ivi è toccata dalla retta coniugata armonica di $do$ rispetto alle due tangenti della curva fondamentale.

Se la curva fondamentale ha una cuspide $d$, la prima polare di un polo qualunque passa per $d$ ed ivi ha per tangente la stessa retta che tocca la curva data.

Per conseguenza, la prima polare di $o$ sega $C_n$ in altri $n(n-1)-2$ o $n(n-1) - 3$ punti (oltre $d$), secondo che $d$ è un punto doppio ordinario o una cuspide. Cioè la classe di una curva s'abbassa di due unità per ogni punto doppio e di tre per ogni cuspide.

(d) Per $r$ qualunque ed $s=1$ si ha:

Se $C_n$ ha $r$ rami passanti per uno stesso punto con tangenti tutte distinte, la classe è diminuita di $r(r-1)$ unità; vale a dire, un punto $(r)$^plo con $r$ tangenti distinte produce lo stesso effetto, rispetto alla classe della curva, come $\tfrac{r(r-1)}{2}$ punti doppi ordinari. La qual cosa è di un'evidenza intuitiva; perchè, se $r$ rami s'incrociano in uno stesso punto, questo tien luogo degli $\tfrac{r(r-1)}{2}$ punti doppi che nascono dall' intersecarsi di quei rami a due a due.

Ma se $s$ rami hanno la tangente comune, combinando ciascun d'essi col successivo si hanno $s-1$ cuspidi, mentre ogni altra combinazione di due rami darà un punto doppio ordinario. Ossia: un punto $(r)$^plo con $s$ tangenti riunite produce, rispetto alla classe della curva, la stessa diminuzione che produrrebbero $\tfrac{r(r-1)}{2}-(s-1)$ punti doppi ordinari ed $s - 1$ cuspidi.

75. Da un polo $o$ condotte due trasversali a segare la curva fondamentale $C_n$ rispettivamente in $a_1a_2\dots a_n$, $b_1b_2\dots b_n$, se $\alpha$, $\beta$ sono i centri armonici, di primo grado, di questi due sistemi di $n$ punti rispetto ad $o$, la retta polare di $o$ sarà $\alpha\beta$. Donde segue che, se pei medesimi punti $a_1a_2\dots a_n$, $b_1b_2\dots b_n$ passa una seconda linea $C_n'$ dell'ordine $n$, la retta $\alpha\beta$ sarà la polare di $o$ anche rispetto a $C_n'$. Imaginando ora che le due trasversali $oa,\, ob$ siano infinitamente vicine, arriviamo al teorema:

Se due linee dell'ordine $n$ si toccano in $n$ punti situati in una stessa retta, un punto qualunque di questa ha la medesima retta polare rispetto ad entrambe le linee date.

La seconda linea può essere il sistema delle tangenti a $C_n$ negli $n$ punti $a_1a_2\dots a_n$; dunque:

Un polo, che sia in linea retta con $n$ punti di una curva dell'ordine $n$, ha la stessa retta polare rispetto alla curva e rispetto alle tangenti di questa negli $n$ punti.

Ciò torna a dire che, se una trasversale tirata ad arbitrio pel polo $o$ incontra la curva in $c_1c_2\dots c_n$ e le $n$ tangenti in $t_1t_2\dots t_n$, si avrà (11):

$\frac{1}{oc_1}+ \frac{1}{oc_2}+ \dots + \frac{1}{oc_n} = \frac{1}{ot_1}+ \frac{1}{ot_2}+ \dots + \frac{1}{ot_n}$.

76. Sian date $n$ rette $A_1A_2\dots A_n$ situate comunque nel piano, ed un polo $o$; sia $P_r$ la retta polare di $o$ rispetto al sistema delle $n - 1$ rette $A_1A_2\dots A_{r-1}A_{r+1}\dots A_n$ considerato come luogo d'ordine $n - 1$; e sia $a_r$ il punto in cui $P_r$ incontra $A_r$. In virtù del teorema (15), $a_r$ è anche il centro armonico di primo grado, rispetto al polo $o$, del sistema di $n$ punti in cui le $n$ rette date sono tagliate dalla trasversale $oa_r$; dunque:

Date $n$ rette ed un polo $o$, il punto, in cui una qualunque delle rette date incontra la retta polare di $o$ rispetto alle altre $n - 1$ rette, giace nella retta polare di $o$ rispetto alle $n$ rette. [67]

Da questo teorema, per $n = 3$, si ricava:

Le rette polari di un punto dato rispetto agli angoli di un trilatero incontrano i lati rispettivamente opposti in tre punti situati in una stessa retta, che è la polare del punto dato rispetto al trilatero risguardato come luogo di terz' ordine. E reciprocamente: se i lati $bc,\, ca,\, ab$ di un trilatero $abc$ sono incontrati da una trasversale in $a',\, b',\, c'$ e se $a_1,\, b_1,\, c_1$ sono ordinatamente i coniugati armonici di $a',\, b',\, c'$ rispetto alle coppie $bc,\, ca,\, ab$, le rette $aa_1, \, bb_1,\, cc_1$ concorrono in uno stesso punto (il polo della trasversale).

77. Le prime polari di due punti qualunque $o$, $o'$ (rispetto alla data curva $C_n$) si segano in $(n-1)^2$ punti, ciascun de' quali, giacendo in entrambe le prime polari, avrà la sua retta polare passante sì per $o$ che per $o'$ (69, a). Dunque:

Una retta qualunque è polare di $(n-1)^2$ punti diversi, i quali sono le intersezioni delle prime polari di due punti arbitrari della medesima.

Ossia:

Le prime polari di tutt'i punti di una retta formano un fascio di curve passanti per gli stessi $(n -1)^2$ punti.

(a) In virtù di tale proprietà, tutte le prime polari passanti per un punto $o$ hanno in comune altri $(n -1)^2-1$ punti, cioè formano un fascio, la base del quale consta degli $(n -1)^2$ poli della retta polare di $o$. Per due punti $o$, $o'$ passa una sola prima polare ed è quella il cui polo è l'intersezione delle rette polari di $o$ ed $o'$.

Dunque tre prime polari bastano per individuare tutte le altre. Infatti: date tre prime polari $C'$, $C''$, $C'''$, i cui poli non siano in linea retta, si domanda quella che passa per due punti dati $o$, $o'$. Le curve $C'$, $C''$ determinano un fascio, ed un altro fascio è determinato dalle $C'$, $C'''$. Le curve che appartengono rispettivamente a questi due fasci e passano entrambe per $o$ individuano un terzo fascio. Quella curva del terzo fascio che passa per $o'$ è evidentemente la richiesta.

(b) Se tre prime polari, i cui poli non siano in linea retta, passano per uno stesso punto, questo sarà comune a tutte le altre prime polari e sarà doppio per la curva fondamentale (73); infatti la sua retta polare, potendo passare per qualunque punto del piano (69, a), riesce indeterminata (72).

78. Suppongasi che la polare $(r)$^ma di un punto $o$ abbia un punto doppio $o'$, onde la prima polare di un punto arbitrario $m$ rispetto alla polare $(r)$^ma di $o$ (considerata questa come curva fondamentale) passerà per $o'$ (73). A cagione del teorema (69, d), la prima polare di $m$ rispetto alla $(n - r-1)$^ma polare di $o'$ passerà per $o$. Inoltre, siccome l'$(r+1)$^ma polare di $o$ passa per $o'$, così il punto $o$ giace nell'$(n-r-1)$^ma polare di $o'$ (69, a). Dunque (77, b):

Se la polare $(r)$^ma di $o$ ha un punto doppio $o'$, viceversa l'$(n - r-1)$^ma polare di $o'$ ha un punto doppio in $o$. Per esempio: se la prima polare di $o$ ha un punto doppio $o'$, la conica polare di $o'$ sarà il sistema di due rette segantisi in $o$; e viceversa.

(a) Se la data curva $C_n$ ha una cuspide $d$, la conica polare di questo punto si risolve in due rette coincidenti nella retta che tocca $C_n$ in $d$ (72). Ciascun punto $m$ di questa retta può risguardarsi come un punto doppio della conica polare di $d$; dunque $d$ sarà un punto doppio della prima polare di $m$, ossia:

Se la curva fondamentale ha una cuspide, la prima polare di un punto qualunque della tangente cuspidale passa due volte per la cuspide.

Queste prime polari aventi un punto doppio in $d$ formano un fascio (77, a); epperò fra esse ve ne sono due, per le quali d è una cuspide (48). Una delle due prime polari cuspidate è quella che ha per polo lo stesso punto $d$ (72).

(b) L' $(s)$^ma polare di un punto $m$ rispetto all'$(r)$^ma polare di un altro punto $o$ abbia un punto doppio $o'$; vale a dire (69, c), l'$(r)$^ma polare di $o$ rispetto all'$(s)$^ma polare di $m$ passi due volte per $o'$. Applicando all'$(s)$^ma polare di $m$ il teorema dimostrato per la curva $C_n$ (78), troviamo che l'$((n-s)-r-1)$^ma polare di $o'$ rispetto all'$(s)$^ma polare di $m$ ha un punto doppio in $o$. Dunque:

Se l'$(s)$^ma polare di $m$ rispetto all'$(r)$^ma polare di $o$ ha un punto doppio $o'$, viceversa l'$(s)$^ma polare di $m$ rispetto all'$(n - r - s -1)$^ma polare di $o'$ avrà un punto doppio in $o$.

79. L'$(r)$^ma polare di $o$ abbia una cuspide $o'$; l'$(n - r-1)$^ma polare di $o'$ passerà due volte per $o$ (78). Se poi si designa con $m$ un punto qualunque della retta che tocca nella cuspide $o'$ l'$(r)$^ma polare di $o$, la prima polare di $m$ rispetto alla stessa $(r)$^ma polare di $o$ avrà un punto doppio in $o'$ (78, a); epperò (78, b) la prima polare di $m$ rispetto all'$(n-r - 2)$^ma polare di $o'$ avrà un punto doppio in $o$.

Da questa proprietà, fatto $r=1$, discende:

Se la prima polare di $o$ ha una cuspide $o'$, ciascun punto della tangente cuspidale ha per conica polare, relativamente alla cubica polare di $o'$, un pajo di rette incrociantisi in $o$.

È evidente che ciascuna di queste rette determina l'altra, vale a dire, tutte le analoghe paja di rette costituiscono un'involuzione (di secondo grado); onde nella tangente cuspidale vi saranno due punti, ciascun de' quali avrà per conica polare (rispetto alla cubica polare di $o'$) un pajo di rette riunite in una sola retta passante per $o$.

Il punto $o$ è doppio per la conica polare (relativa alla cubica polare di $o'$) di ciascun punto $m$ della tangente cuspidale; viceversa adunque (78) $m$ è un punto doppio della conica polare di $o$ (relativa alla cubica polare di $o'$). Ossia: la retta che tocca la prima polare di $o$ nella cuspide $o'$, considerata come il sistema di due rette coincidenti, è la conica polare di $o$ rispetto alla cubica polare di $o'$. Le rette doppie dell'involuzione suaccennata incontrino la tangente cuspidale in $o_1$, $o_2$. Siccome $o_1$ è un punto doppio sì per la conica polare (sempre rispetto alla cubica polare di $o'$) di $o$, che per la conica polare rappresentata dalla retta $oo_1$, così (78) la conica polare di $o_1$ avrà un punto doppio in $o$ ed un altro sopra $o_1o_2$, vale a dire, sarà il sistema di due rette coincidenti. Dunque le rette $oo_2$, $oo_2$ costituiscono separatamente le coniche polari de' punti $o_1$, $o_2$; ossia:

Se la prima polare di $o$ ha una cuspide $o'$, nella tangente cuspidale esistono due punti $o_1$, $o_2$, i quali insieme con $o$ formano un triangolo, tale che ciascun lato considerato come due rette coincidenti è la conica polare del vertice opposto, relativamente alla cubica polare del punto $o'$.

80. Consideriamo ora una tangente stazionaria della data curva $C_n$ ed il relativo punto di contatto o flesso $i$. Preso un polo $o$ nella tangente stazionaria e considerata questa come trasversale (68), tre punti $a$ sono riuniti nel flesso (29), epperò questo tien luogo di due centri armonici del grado $n - 1$ e di un centro armonico del grado $n- 2$ (16). Vale a dire, la prima polare di $o$ passa per $i$ ed ivi tocca $C_n$; e per $i$ passa anche la seconda polare di $o$.

Come adunque per $i$ passa la seconda polare d'ogni punto $o$ della tangente stazionaria, così (69, a) la conica polare di $i$ conterrà tutt'i punti della tangente medesima. Dunque la conica polare di un flesso si decompone in due rette, una delle quali è la rispettiva tangente stazionaria.

Se $i'$ è il punto comune alle due rette che formano la conica polare del flesso $i$, la prima polare di $i'$ avrà (78) un punto doppio in $i$. Ossia: un flesso della curva data è un punto doppio di una prima polare, il cui polo giace nella tangente stazionaria.

Se un punto $p$ appartiene a $C_n$ ed ha per conica polare il sistema di due rette, esso sarà o un punto doppio o un flesso della curva data. Infatti : o le due rette passano entrambe per $p$, e la retta polare di questo punto riesce indeterminata, cioè $p$ è un punto doppio della curva. Ovvero, una sola delle due rette passa per $p$, ed è la tangente alla curva in questo punto (71); tutt'i punti di questa retta appartengono alle polari $(n-1)$^ma ed $(n - 2)$^ma di $p$, dunque la prima e la seconda polare di ciascun di que' punti passa per $p$, il che non può essere, se quella retta non ha in $p$ un contatto tripunto colla curva data (16).

81. Siccome ad ogni punto preso nel piano della curva fondamentale $C_n$ corrisponde una retta polare, così domandiamo: se il polo percorre una data curva $C_m$ d'ordine $m$, di qual classe è la curva inviluppata dalla retta polare? ossia, quante rette polari passano per un arbitrario punto $o$, ciascuna avente un polo in $C_m$? Se la retta polare passa per $o$, il polo è (69, a) nella prima polare di $o$, la quale sega $C_m$ in $m(n-1)$ punti. Questi sono i soli punti di $C_m$, le rette polari de' quali passino per $o$; dunque: se il polo percorre una curva dell'ordine $m$, la retta polare inviluppa una curva della classe $m(n - 1)$.

(a) Per $m=1$ si ha: se il polo percorre una retta $R$, la retta polare inviluppa una curva della classe $n - 1$.

(b) Se la curva fondamentale ha un punto $(r)$^plo $d$, la prima polare di $o$ passa $r-1$ volte per $d$ (73); quindi, se anche $R$ passa per quest'ultimo punto, la prima polare di $o$ segherà $R$ in altri $(n - 1) - (r-1)$ punti; cioè la classe dell'inviluppo richiesto sarà $n - r$.

(c) Se inoltre $s[>1]$ rami di $C_n$ hanno in $d$ la tangente comune, questa tocca ivi $s-1$ rami della prima polare di $o$ (74); onde, se $R$ è questa tangente, le rimanenti sue intersezioni colla prima polare di $o$ saranno in numero $(n- 1)- (r - 1) - 1$ [68]; dunque la classe dell'inviluppo è in questo caso $n-(r+1)$.

82. Come la teoria de' centri armonici di un sistema di punti in linea retta serve di base alla teoria delle curve polari relative ad una curva fondamentale di dato ordine, così le proprietà degli assi armonici di un fascio di rette divergenti da un punto (19, 20), conducono a stabilire un'analoga teoria di inviluppi polari relativi ad una curva fondamentale di data classe.

Data una curva $K$ della classe $m$ ed una retta $R$ nello stesso piano, da un punto qualunque $p$ di $R$ siano condotte le $m$ tangenti a $K$; gli assi armonici, di grado $r$, del sistema di queste $m$ tangenti rispetto alla retta fìssa $R$ inviluppano, quando $p$ muovasi in $R$, una linea della classe $r$. Così la retta $R$ dà luogo ad $m-1$ inviluppi polari, le cui classi cominciano con $m - 1$ e finiscono con 1. L'inviluppo polare di classe più alta tocca le rette tangenti a $K$ ne' punti comuni a questa linea e ad $R$; onde segue che $R$ incontra $K$ in $m(m-1)$ punti, cioè una curva della classe $m$ è generalmente dell'ordine $m(m-1)$. Ma questo è diminuito di due unità per ogni tangente doppia e di tre unità per ogni tangente stazionaria di cui sia dotata la curva fondamentale; ecc. ecc.

Note