Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Fascio di curve del terz'ordine aventi i medesimi flessi

Art. 23. Fascio di curve del terz'ordine aventi i medesimi flessi

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 23. Fascio di curve del terz'ordine aventi i medesimi flessi

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L'Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz'ordine

La curva di terz’ordine considerata come Hessiana di tre diverse reti di coniche

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139 Il teorema (71), applicato alla cubica fondamentale $C_3$, significa che, se per un punto fisso $i$ della curva si tira una trasversale qualunque a segar quella in altri due punti $i_1 i_2$, il luogo del coniugato armonico di $i$ rispetto ad $i_1 i_2$ è la conica polare di $i$.

Ma se $i$ è un flesso della cubica, la conica polare si decompone nella relativa tangente stazionaria ed in un’altra retta $I$ che non passa per $i$ (80). Dunque il luogo del punto coniugato armonico di un flesso di una cubica, rispetto ai due punti in cui questa è incontrata da una trasversale mobile intorno al flesso, è una retta.

Alla retta $I$, che sega la cubica ne’ tre punti ove questa è toccata dalle tre tangenti concorrenti nel flesso (39, c), si dà il nome di polare armonica del flesso $i$, e non dee confondersi coll’ordinaria retta polare che è la tangente stazionaria.

(a) Dal flesso $i$ si tirino due trasversali a segare la cubica rispettivamente ne’ punti $aa', bb'$. Siccome la polare armonica è pienamente determinata dai coniugati armonici di $i$ rispetto alle coppie di punti $aa', bb'$, così essa non è altro che la polare di $i$ rispetto al pajo di rette $(ab, a'b')$, oppure rispetto al pajo $(ab', a'b)$. Dunque (110, a) la retta $I$ passa pel punto comune alle rette $(ab, a'b')$ e pel punto comune alle $(ab', a'b)$.

Se le due trasversali coincidono, si ottiene la proprietà che, se pel flesso $i$ si conduce una trasversale a segare la cubica in $a, b$, le tangenti in questi punti vanno ad incontrarsi sulla polare armonica di $i$.

Quanto precede mette in evidenza che un flesso di una cubica ha, rispetto a questa ed alla sua polare armonica, le stesse proprietà che un punto qualunque possiede riguardo ad una conica ed alla sua retta polare (107). [92]

(b) Se tre rette segano la cubica data rispettivamente ne’ punti $iaa', jbb', lcc'$, e se $ijl, abc$ giacciono in due rette, anche $a'b'c'$ sono in linea retta (39, a). Supposto che i punti $ijl$ coincidano in un solo (flesso) $i$, le due rette $abc, a'b'c'$ concorreranno, come or ora si è osservato, sulla polare armonica di $i$. Se inoltre i punti $abc$ coincidono in un punto unico, lo stesso avrà luogo de’ punti $a'b'c'$; dunque:

La retta che unisce due flessi di una cubica sega questa in un terzo flesso. E le tangenti (stazionarie) in due qualunque di questi tre flessi concorrono sulla polare armonica del terzo.

(c) Da questo teorema e dalla definizione della polare armonica d’un flesso si raccoglie che, se 123 sono tre flessi in linea retta, il punto coniugato armonico di 1 rispetto a 23 è situato nella polare armonica di 1, ecc.; e che per conseguenza le polari armoniche de’ flessi 123 sono le rette che uniscono i vertici del trilatero formato dalle relative tangenti stazionarie, col polo della retta 123 rispetto al trilatero medesimo (76).

(d) Il teorema “se tre flessi 123 della cubica sono in linea retta, le loro polari armoniche $I_1I_2I_3$ concorrono in uno stesso punto” può dimostrarsi anche così. Siano $I_1' I_2' I_3'$ le tangenti (stazionarie) della cubica ne’ tre flessi nominati; le coppie di rette $I_1 I_1', I_2I_2', I_3 I_3'$ sono le coniche polari de’ punti medesimi, e queste coniche devono essere circoscritte ad uno stesso quadrangolo, i cui vertici siano i poli della retta 123 (130, a). Vale a dire, le rette $I_3I_3'$ devono passare pei quattro punti $I_1'I_2, I_1'I_2', I_1I_2, I_1I_2'$. Ma le tangenti in due de’ flessi 123 s’incontrano sulla polare armonica del terzo, ossia $I_3$ passa pel punto $I_1'I_2'$; dunque $I_3$ passerà anche pel punto $I_1I_2$, c. d. d.

Di qui si raccoglie che i quattro poli di una retta che contenga tre flessi della cubica sono i vertici del trilatero formato dalle tre corrispondenti tangenti stazionarie, ed il punto di concorso delle polari armoniche de’ tre flessi.

140. Tre trasversali condotte pel flesso $i$ seghino la data cubica nei punti $aa', bb', cc'$; esse incontreranno la retta $I$, polare armonica di $i$, nei punti $\alpha,\beta, \gamma$ coniugati armonici di $i$ rispetto alle coppie $aa', bb', cc'$. Ma gli stessi punti $\alpha\beta\gamma$ giacciono anche nella conica polare di $i$ relativa a qualsivoglia cubica descritta pei sette punti $iaa'bb'cc'$ (139). Dunque questa conica polare si risolve in due rette, una delle quali è $I$; vale a dire (80), $i$ è un flesso (ed $I$ è la relativa polare armonica) per qualunque curva di terz’ordine passante pei sette punti anzidetti.

(a) Una cubica ha nove flessi, che sono le intersezioni della medesima coll’Hessiana (100). Siccome poi la retta che unisce due flessi passa per un terzo flesso (139, b), così per ciascuno di que’ nove punti passeranno quattro rette contenenti gli otto restanti. Quindi, in virtù del precedente teorema, qualunque linea del terz’ordine descritta pei nove flessi di una data cubica ha i suoi flessi in questi medesimi punti.

Le cubiche aventi in comune i nove flessi chiamansi sizigetiche.

(b) Siccome per ogni flesso della cubica data passano quattro rette, ciascuna delle quali contiene altri due flessi, così il numero delle rette contenenti tre flessi è $\tfrac{4\times 9}{3}=12$. Indicando i flessi coi numeri 123...9, tali rette si possono rappresentare così:

123,	148,	157,	169,
456,	259,	268,	358,
789,	367,	349,	247;

dove si fa manifesto che queste dodici rette si ripartiscono in quattro gruppi, ciascuno de’ quali è formato da tre rette (scritte nella stessa linea verticale) passanti per tutti i nove punti d’inflessione. Dunque pei nove flessi di una cubica passano quattro sistemi di tre rette, ossia in un fascio di cubiche sizigetiche v’hanno quattro cubiche, ciascuna delle quali si risolve in tre rette (cubiche trilatere).

Siccome una terna di rette può risguardarsi come una linea di terz’ordine dotata di tre punti doppi, e d’altronde (88) un fascio di cubiche contiene dodici punti doppi, così pei nove flessi della cubica data non passa, oltre i quattro sistemi di tre rette, alcuna curva dotata di punto doppio o di cuspide.

141. Considerando il flesso $i$ della cubica fondamentale come un punto dell’Hessiana (cioè come un punto avente per conica polare un pajo di rette incrociate in un altro punto $i'$), il polo $i'$ coniugato (132, b) ad $i$ è il punto d’intersezione della tangente stazionaria colla polare armonica. In generale, le tangenti all’Hessiana in due poli coniugati concorrono in uno stesso punto della medesima (133); d’altronde essendo $i$ un flesso anche per l’Hessiana (140, a), questa curva ha ivi colla sua tangente un contatto tripunto; dunque la tangente in $i'$ sega l’Hessiana in $i$, ossia la retta che è tangente (stazionaria) della cubica fondamentale nel flesso $i$ è anche tangente (ordinaria) dell’Hessiana nel polo coniugato $i'$.

Questa proprietà si poteva anche conchiudere dalla teoria generale (118, c; 119 b), dalla quale segue ancora che tutte le coniche polari passanti per $i'$ hanno ivi fra loro un contatto tripunto.

(a) Ciascuna tangente stazionaria della cubica fondamentale, essendo anche una tangente ordinaria dell’ Hessiana, conta come due tangenti comuni; onde le due curve avranno altre $6.6 - 2.9 = 18$ tangenti comuni. Siccome poi ogni tangente dell’Hessiana ha due poli coincidenti nel punto coniugato al punto di contatto e gli altri due poli distinti nella Cayleyana (135), così le diciotto tangenti (ordinarie) comuni all’Hessiana ed alla cubica fondamentale toccano quest’ ultima curva ne’ punti in cui essa è incontrata dalla Cayleyana.

(b) In generale, se $o, o'$ sono due poli coniugati, e se $u'$ è il terzo punto comune all’Hessiana ed alla retta $oo'$, questa tocca la Cayleyana nel punto $\omega$ coniugato armonico di $u'$ rispetto ai due $oo'$ (135, c). Ma allorché $o$ sia un flesso della cubica fondamentale, $u'$ coincide con $o'$; epperò (4) anche $\omega$ si confonde con $o'$. Dunque la Cayleyana tocca l’Hessiana nei nove poli coniugati ai flessi della cubica fondamentale.

(c) Una tangente della Cayleyana, quale è $u'r$ (fig. 8.^a), sega questa curva in quattro punti $o_1o_2o_1'o_2'$, i quali sono le intersezioni di $u'r$ colle rette costituenti le coniche polari di $o, o'$ (135). Quando $o$ è un flesso della cubica fondamentale, la conica polare di $o$ è costituita dalla tangente stazionaria $oo'$ e dalla polare armonica, e quest’ ultima si confonde con $u'r$, perchè $u'$ ed $o'$ coincidono insieme. Ond’è che de’ due punti $o_1'o_2'$ l’uno cade in $o'$ (od $u'$) e l’altro si unisce all’intersezione di due tangenti infinitamente vicine $u'r, o'o_1'$ della Cayleyana, cioè al punto di contatto fra questa curva e la retta $u'r$. Questa retta ha dunque un contatto tripunto colla Cayleyana; e siccome questa curva, essendo della terza classe e del sest’ ordine, non può avere altre singolarità all’infuori di nove cuspidi (99, 100), così:

Le polari armoniche dei nove flessi della cubica fondamentale sono tangenti alla Cayleyana nelle nove cuspidi di questa curva.

(d) L’Hessiana e la Cayleyana sono dotate di proprietà completamente reciproche. Infatti:

Una tangente qualunque della Cayleyana sega l’Hessiana in due punti corrispondenti, cioè aventi lo stesso tangenziale, ed in un terzo punto che è il coniugato armonico del punto di contatto della Cayleyana rispetto ai primi due (135, c).

In un punto qualunque $o$ dell’Hessiana concorrono tre tangenti della Cayleyana; due di esse sono corrispondenti, cioè la retta che ne unisce i punti di contatto è una tangente della Cayleyana; la terza poi è la coniugata armonica, rispetto alle due prime, della tangente all’Hessiana in $o$ (135, a).

Da questa perfetta reciprocità segue che le proprietà della Cayleyana si potranno conchiudere da quelle dell’Hessiana e viceversa. Per esempio:

I nove punti $i$, ne’ quali l’Hessiana è toccata dalle sue tangenti stazionarie, sono i flessi anche delle infinite curve di terzo ordine passanti pei medesimi.		Le nove rette $I$ tangenti alla Cayleyana nelle cuspidi, sono tangenti cuspidali per tutte le infinite curve di terza classe ch’esse toccano.
Al fascio di queste curve appartengono quattro trilateri, cioè i nove flessi sono distribuiti a tre a tre su dodici rette $R$, delle quali in ogni punto $i$ ne concorrono quattro.		Alla serie di queste curve appartengono quattro triangoli, cioè le nove rette $I$ concorrono a tre a tre in dodici punti $r$, ciascuna di quelle contenendo quattro di questi.
I vertici dei quattro trilateri sono i dodici punti $r$.		I lati dei quattro triangoli sono le dodici rette $R$.
Fra le curve di terz’ordine aventi i flessi in comune coll’Hessiana v’è anche la cubica fondamentale $C_3$, rispetto alla quale l’Hessiana è il luogo di un punto che abbia per conica polare un pajo di rette, e la Cayleyana è l’inviluppo di queste rette.		Fra le curve di terza classe aventi per tangenti cuspidali le rette $I$ ve n’ha una $K_3$, rispetto alla quale la Cayleyana è l’inviluppo di una retta il cui primo inviluppo polare (82) sia una coppia di punti, e l’Hessiana è il luogo di questi punti.
Le tangenti stazionarie $I'$ della cubica $C_3$ toccano l’Hessiana e la Cayleyana ne’ punti $i'$ comuni a queste due curve.		Le cuspidi della curva $K_3$ sono i nove punti $i'$ ove l’Hessiana e la Cayleyana si toccano.

142. Dato un fascio di cubiche, una trasversale qualunque le incontra in terne di punti formanti un’involuzione di terzo grado, e nel punti doppi di questa la trasversale tocca quattro cubiche del fascio (49). Se le cubiche sono sizigetiche (ossia se hanno i nove flessi comuni) e se la trasversale è la polare armonica $I$ di un flesso $i$, le tre intersezioni di una qualunque fra quelle cubiche sono i punti di contatto fra essa e le tangenti che convergono al flesso $i$ (139). Sia $r$ uno de’ punti doppi dell’involuzione; la cubica passante per $r$ toccherà ivi sì la trasversale $I$ che la retta $ri$, cioè avrà in $r$ un punto doppio. Ma i soli punti doppi in un fascio di cubiche sizigetiche sono le intersezioni scambievoli delle terne di rette contenenti a tre a tre i flessi (140, b); dunque i quattro trilateri (sizigetici) formati da tali rette hanno i loro vertici allineati a quattro a quattro sulle polari armoniche de’ flessi.

Di qui si ricava che, se $r$ è un vertice di un trilatero sizigetico, $r$ dovrà giacere nella polare armonica di ciascuno de’ tre flessi situati nel lato opposto del trilatero medesimo; ossia:

I punti in cui si segano a tre a tre le polari armoniche dei flessi sono i vertici dei quattro trilateri formati dalle dodici rette nelle quali giacciono distribuiti a tre a tre i flessi medesimi.

Considerando uno qualunque de’ trilateri sizigetici, i suoi lati contengono i nove flessi, mentre pei vertici passano le nove polari armoniche. Sia $r$ uno dei vertici ed 123 i flessi giacenti nel lato opposto. Siccome per $r$ passano le polari armoniche di 123, le quali fanno parte delle coniche polari di questi punti rispetto a tutte le cubiche sizigetiche del dato fascio (140), così la retta 123 sarà, relativamente a tutte queste curve, la retta polare del punto $r$ (130, a). Dunque ciascun vertice di un trilatero sizigetico e polo del lato opposto rispetto a tutte le cubiche sizigetiche.

143. Proseguendo a studiare il fascio delle cubiche sizigetiche, una qualunque di esse sia incontrata dalla polare armonica $I$ del flesso $i$ ne’ punti $mm'm''$, onde in questi punti le tangenti alla curva saranno $i(m, m', m'')$. La tangente (stazionaria) alla cubica medesima nel flesso $i$ incontri $I$ in $n$. La cubica è individuata da uno qualunque de’ quattro punti $nmm'm''$, epperò, al variare di quella, la terna $mm'm''$ genera un’involuzione (di terzo grado) projettiva alla semplice punteggiata formata dai punti $n$.

Se $rr_1r_2r_3$ sono i punti doppi dell’involuzione, essi sono anche (142) vertici de’ quattro trilateri sizigetici; siano poi $ss_1s_2s_3$ le intersezioni dei lati rispettivamente opposti colla retta $I$. Per queste cubiche trilatere, le tangenti al flesso $i$ sono evidentemente gli stessi lati $i(s, s_1, s_2, s_3)$; ond’è che, ogni qualvolta i due punti $m'm''$ coincidono in $r$, i punti $mn$ si confondono insieme con $s$.

La retta $in$, che tocca una cubica del fascio nel flesso $i$, è anche tangente all’Hessiana di questa nel punto $n$ (141). Dunque, se una data cubica del fascio incontra la retta $I$ ne’ punti $mm'm''$, le rette $i(m, m', m'')$ sono tangenti nel flesso $i$ ad altrettante cubiche del fascio, aventi per Hessiana la curva data. Ossia una data cubica è, in generale, Hessiana di tre altre cubiche sizigetiche ad essa.

(a) Se la cubica data è un trilatero, un vertice del quale sia $r$ ed il lato opposto passi per $s$, le tre tangenti $i(m', m'')$, $im$ riduconsi alle due $ir$, $is$. La seconda di queste rette può risguardarsi come tangente stazionaria della cubica data, la quale è per tal modo Hessiana di sè stessa. E l’altra retta $ir$ sarà tangente in $i$ ad una cubica (del fascio) avente per Hessiana il dato trilatero. Dunque ciascuna cubica trilatera è Hessiana di sè stessa e di un’altra cubica (del fascio). Cioè in un fascio di cubiche sizigetiche vi sono quattro curve le cui Hessiane sono i quattro trilateri del fascio.

(b) Cerchiamo se nel dato fascio vi abbia alcuna cubica che sia Hessiana della propria Hessiana. Una cubica $C$ ha per Hessiana un’altra cubica, e l’Hessiana di questa è una nuova cubica $C'$. Assunta invece ad arbitrio nel fascio la curva $C'$, questa è Hessiana di tre cubiche, ciascuna delle quali è alla sua volta Hessiana di tre altre cubiche $C$; talché $C'$ dà nove cubiche $C$. Siccome le cubiche $C, C'$ sono individuate dalle rispettive tangenti in $i$ (46), od anche dai punti $n, n'$ in cui queste segano la polare armonica $I$, possiamo dire che ad ogni punto $n$ corrisponde un solo punto $n'$, mentre a ciascun punto $n'$ corrispondono nove punti $n$; quindi la coincidenza di due punti corrispondenti $n, n'$ avrà luogo dieci volte, cioè vi sono dieci cubiche sodisfacenti alla condizione proposta. Di questo numero sono i quattro trilateri sizigetici; epperò, lasciatili da parte, avremo:

Un fascio di cubiche sizigetiche contiene sei cubiche, ciascuna delle quali è Hessiana della propria Hessiana.

144. Vogliamo ora trovare la relazione segmentarla esprimente la projettività che ha luogo fra l’involuzione di terzo grado formata dai punti $mm'm''$ e la semplice serie generata dal punto $n$ (143). Preso per origine de’ segmenti un punto $r$, cioè quel vertice di uno de’ trilateri sizigetici che cade nella retta $I$; e chiamato $m$ uno qualunque de’ punti $mm'm''$, la projettività di che si tratta sarà espressa da un’equazione della forma (24, a):

1)	$(A.rn + A') \overline{rm}^3 + 3 (B. rn + B') \overline{rm}^2 +$$3 (C. rn + C') rm + D. rn +D'=0$,

ove $A, A', B, \dots$ sono coefficienti costanti. Il punto $s$ corrispondente ad $r$ (143) suppongasi a distanza infinita, com’è lecito fare senza sminuire la generalità dell’indagine; perchè trattandosi qui di relazioni fra rapporti anarmonici, possiamo ai punti della retta $I$ sostituire le loro projezioni fatte da un centro arbitrario sopra una retta parallela al raggio che passa per $s$ (8).

Ciò premesso, siccome i tre valori di $rm$ corrispondenti ad $rn = rs = \infty$ devono essere $rm=rs$, $rm'=0$, $rm''=0$, così se ne trae $A=0$, $C=0$, $D=0$.

D’altronde $s$ è un punto della retta polare di $r$ rispetto a qualunque cubica del fascio (142), quindi (11):

$\frac{3}{rs}=\frac{1}{rm} + \frac{1}{rm'} +\frac{1}{rm''}=-\frac{3C'}{D'}$;

ma $rs$ è infinito, dunque $C'=0$. Così l’equazione 1) diviene:

2)	$A'.\overline{rm}^3 + 3 (B.rn + B')\overline{rm}^2 + D'=0$.

La condizione affinchè la 2), considerando $rm$ come incognita, abbia due radici eguali è:

3)	$A^2D' + 4(B.rn + B')^3=0$,

cioè questa equazione del terzo grado rispetto ad $rn$ darà quei tre punti $n$ ($s_1s_2s_3$) a ciascuno dei quali, come ad $s$, corrispondono due punti $m$ coincidenti $(r_1r_2r_3)$.

Se nella stessa equazione 2) si fa $rm = rn$, ottiensi:

4)	$(A'+3B)\overline{rn}^3 + 3B'. \overline{rn}^2+ D'= 0$,

ossia ciascuno de’ punti $n$ dati dalla 4) coincide con uno de’ corrispondenti punti $m$. Ma i punti $n$ dotati di tale proprietà sono (oltre ad $s$) gli stessi punti $s_1s_2s_3$ dati dalla 3); dunque le equazioni 3), 4), dovendo ammettere le stesse soluzioni, avranno i coefficienti proporzionali.

L’equazione 4) non contiene l’$rn$ lineare; onde eguagliando a zero il coefficiente di $rn$ nella 3), si avrà ${BB'}^2=0$, ossia $B'=0$; perchè il porre $B = 0$ farebbe scomparire il segmento $rn$ dalla 2). Quindi le 3), 4) divengono:

$4B^3.\overline{rn}^3 + {A'}^2D'=0$, $(A'+3B)\overline{rn}^3 +D' = 0$,

donde eliminando $rn$ si ha:

5)	$(A'- B)(A'+2B)^2=0$.

Posto $A'=B$ e per brevità $D'=-4h^3B$, ovvero posto $A'= -2B$ e per brevità $D' = - h^3 B$, le equazioni 3), 4) in entrambi i casi danno:

6)	$\overline{rn}^3 - h^3=0$

e le radici di questa equazione saranno $rs_1, rs_2, rs_3$.

Fatto adunque $h^3 = \overline{rn}^3$, $B'=0$ ed inoltre $A'=B$, ovvero $A'= - 2B$, l’equazione 2) diviene nel primo caso:

7)	$(rm - rn)(rm + 2 rn)^2=0$,

e nel secondo:

$(rm - rn)^2 (2rm + rn) = 0$.

Cioè nel primo caso uno de’ tre punti $m$ corrispondenti ad $n=(s_1, s_2, s_3)$ coincide collo stesso $n$, mentre gli altri due si riuniscono in un sol punto $(r_1, r_2, r_3)$ diverso da $n$. Nel secondo caso invece, due de’ tre punti $m$ corrispondenti ad $n=(s_1, s_2, s_3)$ cadrebbero in $n$. Ma nella quistione che ci occupa si verifica il primo caso, non il secondo (143); ond’è che dobbiamo assumere $A'=B$, non già $A'=-2B$.

Dunque la richiesta equazione per la projettività fra l’involuzione formata dalle terne di punti $mm'm''$ e la semplice punteggiata formata dai punti $n$ può essere scritta così:

8)	$\overline{rm}^3 + 3rn.\overline{rm}^2 - 4h^3 = 0$,

ove $h$ esprime un coefficiente costante.

(a) I punti $s_1s_2s_3$ sono dati dall’equazione 6), ed i punti $r_1r_2r_3$ dalla 7):

$rm + 2rn = 0$,

ossia dalla:

$\overline{rm}^3 + 8h^3 = 0$;

dunque entrambi i sistemi di quattro punti $ss_1s_2s_3, rr_1r_2r_3$ sono equianarmonici (27).

Ne consegue che, se $i$ è un flesso reale delle cubiche sizigetiche, due de’ quattro vertici $r$ giacenti nella polare armonica $I$ sono reali, gli altri due imaginari (26). E per la reciprocità già avvertita (141, d), due delle quattro rette $R$ (lati de’ trilateri sizigetici) concorrenti in $i$ saranno reali, le altre due immaginarie. Che almeno uno de’ flessi di una cubica sia reale, risulta manifesto dall’essere dispari il numero totale delle intersezioni della cubica coll’Hessiana.

Sia dunque 1 un flesso reale; e delle quattro rette $R$ (140, b), cioè 123, 148, 157, 169, siano reali le prime due, imaginarie coniugate le altre. I quattro flessi 57, 69 saranno necessariamente tutti imaginari, ed invero uno de’ primi due sarà coniugato ad uno degli altri due. Siano coniugati 5 e 9, 6 e 7. Le due rette reali 59, 67, e le due rette imaginarie coniugate 56, 79 si segano separatamente in due punti reali $r, r_1$, situati nella polare armonica del flesso 1 (139, a).

Essendo reali le rette 123, 148, i flessi 2 3, e così pure 4 8, sono o entrambi reali, o imaginari coniugati. D’altronde le coppie di rette (24, 38), (28, 34) devono dare gli altri due vertici $r_2, r_3$, situati in linea retta con $r, r_1$. Ma $r_2r_3$ sono imaginari, dunque i punti 2 3 4 8 non possono essere nè tutti reali, nè tutti imaginari; cioè 2 3 sono reali, e 4 8 imaginari.

Da ciò segue che de’ nove flessi di una cubica tre soli (in linea retta) sono reali, essendo gli altri imaginari coniugati a due a due. E delle dodici rette $R$, che contengono le terne de’ flessi, quattro (123, 148, 259, 367) sono reali; le altre no. Uno de’ quattro trilateri sizigetici ha un solo vertice reale; un altro ne ha tre; i rimanenti nessuno.

(b) Come si è supposto sin qui, sia $m$ uno de’ punti in cui una data cubica del fascio sega la retta $I$, e sia $n$ l’intersezione di questa medesima retta colla tangente al flesso $i$. Supponiamo poi che i punti $M, N$ abbiano analogo significato per l’Hessiana della cubica suddetta; avremo similmente alla 8):

$\overline{rM}^3 + 3rN.\overline{rM}^2 - 4h^3 = 0$.

Ma l’Hessiana passa, come si è già osservato (143), pel punto $n$, talché sarà:

9)	$\overline{rn}^3 + 3rN.\overline{rn}^2 - 4h^3 = 0$,

donde, dato il punto $n$, si desume il punto $N$. Per esempio, se $n$ cade in $r$, si ha $rN = \infty$, cioè $N$ coincide con $s$; e se $n$ è uno de’ punti $r_1r_2r_3$, ossia se $n$ è dato dall’equazione

$\overline{rn}^3 + 8h^3 = 0$,

si ottiene:

$2rN + rn = 0$,

vale a dire, $N$ è uno de’ punti $s_1s_2s_3$. Di qui si ricava che le cubiche sizigetiche le cui tangenti al flesso $i$ passano per uno de’ punti $rr_1r_2r_3$ hanno per Hessiane i trilateri sizigetici; come già si è trovato altrove (143, a).

Se invece è dato il punto $N$, l’equazione 9) dà i tre punti $n$ corrispondenti alle tre cubiche, la comune Hessiana delle quali è la curva relativa al dato punto $N$ (143).

(c) Se la cubica data è Hessiana della propria Hessiana (143, b), si avrà oltre l’equazione 9) anche la:

$\overline{rN}^3 + 3rn.\overline{rN}^2 - 4h^3 = 0$.

Sottraggasi questa dalla 9), e dalla risultante, omesso il fattore $rn-rN$ che corrisponde alle cubiche trilatere, si elimini $rN$ mediante la medesima 9); ottiensi così la:

10)	$\overline{rn}^6 - 20h^3.\overline{rn}^3 - 8h^6 = 0$,

equazione di sesto grado, che dà i sei punti $n$ corrispondenti alle sei cubiche dotate della proprietà d’essere Hessiane delle proprie Hessiane.

145. Le quattro tangenti che in generale si possono condurre ad una cubica da un suo punto, nel caso che questo sia il flesso $i$, sono le rette $i(n, m, m', m'')$. Ond’è che il rapporto anarmonico della cubica (131, b) sarà quello de’ quattro punti $nmm'm''$, ne’ quali la polare armonica del flesso è incontrata dalla tangente stazionaria e dalla cubica medesima.

Ciò premesso, possiamo ricercare quali fra le cubiche sizigetiche del dato fascio sono equianarmoniche e quali armoniche (131, b).

Siccome i tre punti $mm'm''$ sono dati dalla 8), così i quattro punti $nmm'm''$ saranno rappresentati dall’equazione:

11)	$\overline{rm}^4 + 2rn.\overline{rm}^3 - 3\overline{rn}^2.\overline{rm}^2 - 4h^3. rm +4h^3.rn = 0$,

che si ottiene moltiplicando la 8) per $rm - rn$.

La condizione necessaria e sufficiente affinchè la 11) esprima un sistema equianarmonico è (27):

$rn(\overline{rn}^3 + 8h^3)=0$,

che rappresenta i quattro punti $rr_1r_2r_3$. Dunque (144, b) un fascio di cubiche sizigetiche contiene quattro curve equianarmoniche, ciascuna delle quali è anche dotata della proprietà d’aver per Hessiana un trilatero (sizigetico).

Affinchè la 11) rappresenti un sistema armonico, dev’essere (6):

$\overline{rn}^6 - 20h^3.\overline{rn}^3 - 8h^6 = 0$.

Quest’equazione coincide colla 10); dunque un fascio di cubiche sizigetiche contiene sei curve armoniche, le quali sono anche le cubiche dotate della proprietà d’essere Hessiane delle proprie Hessiane.

Note