Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Formole di Plücker

Art. 16. Formole di Plücker

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 16. Formole di Plücker

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Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data

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99. Data una curva qualsivoglia $C_n$ (fondamentale), indichiamo con

• $n$ l'ordine della medesima,
• $m$ la classe,
• $\delta$ il numero de' punti doppi,
• $\chi$ il numero de' punti stazionari o cuspidi,
• $\tau$ il numero delle tangenti doppie,
• $\iota$ il numero delle tangenti stazionarie, ossia de' flessi.

Siccome $m$ è il numero delle tangenti che da un punto arbitrario si possono condurre alla curva data, così, in virtù del teorema (74, c) o (87, d), si ha:

1)	$m = n(n - 1) - 2\delta -3\chi,$

formola che somministra la classe di una curva, quando se ne conosca l'ordine e si sappia di quanti punti doppi e cuspidi è fornita.

Pel principio di dualità, un'equazione della stessa forma dovrà dare l'ordine di una curva, quando se ne conosca la classe, il numero delle tangenti doppie e quello delle stazionarie (82); dunque:

2)	$n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota$.

100. Siccome ogni punto della curva fondamentale, il quale abbia per conica polare il sistema di due rette, è un flesso o un punto multiplo (80), così la curva Hessiana, la quale è il luogo de' punti le cui coniche polari si risolvono in coppie di rette (90, a), sega la linea data nei flessi e ne' punti multipli di questa. Onde, essendo l'Hessiana dell'ordine $3(n - 2)$, se la curva data non ha punti multipli, il numero de' suoi flessi è $3n(n - 2)$.

Supponiamo ora che $C_n$ abbia un punto doppio $d$; nel qual caso tutte le prime polari passano per $d$. Allora l'Hessiana della rete formata da queste prime polari, che è anche l'Hessiana di $C_n$ (90, a; 92), passa due volte per $d$ ed ivi ha le due tangenti comuni colla prima polare del punto stesso (96, d), cioè ha le tangenti comuni colla curva data (72). Dunque il punto $d$ equivale (32) a sei intersezioni dell'Hessiana con $C_n$ ossia ogni punto doppio fa perdere a questa curva sei flessi.

Ora s'imagini che $C_n$ abbia una cuspide $d$, e sia $T$ la tangente cuspidale. In questo caso tutte le prime polari relative a $C_n$ passano per $d$ ed ivi sono toccate dalla retta $T$ (74, c) ; [inoltre la prima polare di $d$ ha ivi una cuspide, con $T$ per tangente cuspidale (72)] [82]; epperò l'Hessiana ha tre rami passanti per $d$, due de' quali hanno per tangente $T$ (97, d). Dunque il punto $d$ equivale ad otto intersezioni dell' Hessiana con $C_n$, ossia ogni cuspide fa perdere a questa curva otto flessi.

Quindi, se $C_n$ ha $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, il numero de' flessi ossia delle tangenti stazionarie sarà dato dalla formola:

3)	$\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\chi$.

E pel principio di dualità, se una curva della classe $m$ ha $\tau$ tangenti doppie ed $\iota$ tangenti stazionarie, essa avrà

4)	$\chi = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota$

punti stazionari.

Le quattro equazioni così trovate equivalgono però a tre sole indipendenti ; infatti, sottraendo la 1) moltiplicata per 3 dalla 3), si ha la

5)	$\chi - \iota= 3(n - m)$,

equazione che può essere dedotta nello stesso modo anche dalle 2), 4).

Così fra i sei numeri $n,\, m,\, \delta,\, \chi,\, \tau,\, \iota$ si hanno tre equazioni indipendenti, onde, dati tre, si possono determinare gli altri tre. Per esempio, dati $n,\, \delta,\, \chi$, il valore di $\tau$ si ottiene eliminando $m$ ed $\iota$ fra le 1), 2), 3); e si ha:

6)	$\tau=\frac{1}{2}n(n - 2)(n^2 - 9)-(2\delta + 3\chi)(n^2 - n - 6) + 2\delta(\delta- 1)+\frac{9}{2}\chi(\chi -1) + 6\delta \chi$.

Una formola assai utile si ottiene sottraendo la 2) dalla 1), ed eliminando $\chi - \iota$ dal risultato mediante la 5):

7)	$2(\delta- \tau) = (n - m) (n + m-9)$.

Queste importanti relazioni fra l'ordine, la classe e le singolarità di una curva piana sono state scoperte dal sig. Plücker.

101. Se una curva deve avere un punto doppio, senza che questo sia dato, ciò equivale ad una condizione; infatti, a tal uopo basta che tre prime polari (non appartenenti ad uno stesso fascio) abbiano un punto comune. Invece, se la curva deve avere un punto stazionario, senza che questo sia dato, ossia se tre prime polari (non appartenenti ad uno stesso fascio) debbono toccarsi in uno stesso punto, ciò esige due condizioni. Onde segue che, se una curva d'ordine $n$ deve avere $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, essa sarà determinata (34) da $\tfrac{n(n+3)}{2}-\delta - 2\chi$ condizioni. E, in virtù del principio di dualità, $\tfrac{m(m+3)}{2}-\tau - 2\iota$ condizioni determineranno una curva della classe $m$ la quale debba essere fornita di $\tau$ tangenti doppie e di $\iota$ tangenti stazionarie.

Perciò, se i numeri $n,\, m,\, \delta,\, \chi,\, \tau,\, \iota$ competono ad una sola e medesima curva, dovrà essere:

8)	$\frac{n(n+3)}{2}-\delta -2 \chi = \frac{m(m + 3)}{2}-\tau - 2 \iota$,

formola che può dedursi anche dalle 1), 2) .... Ma, ove sia stabilita a priori, come qui si è fatto, essa insieme con due qualunque delle 1), 2), ... potrà servire a somministrare tutte le altre.

102. Noi prenderemo quind'innanzi a studiare le proprietà di una curva $C_n$ di un dato ordine $n$, la quale supporremo affatto generale fra quelle dello stesso ordine. Epperò, a meno che non si facciano dichiarazioni in contrario, la curva fondamentale sarà della classe $n(n-1)$ ed avrà nessun punto multiplo, $3n(n-2)$ flessi e $\tfrac{1}{2}n(n-2)(n^2-9)$ tangenti doppie.

Le prime polari relative a $C_n$ formano una rete dell'ordine $n - 1$, l'Hessiana della quale taglia $C_n$ ne' $3n(n - 2)$ flessi di questa. La Steineriana della rete (98, a), che è anche la Steineriana di $C_n$ (88, d), è dell'ordine $3(n - 2)^2$.

Note