Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Punti e tangenti comuni a due curve

Art. 6. Punti e tangenti comuni a due curve

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 6. Punti e tangenti comuni a due curve

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Definizioni relative alle linee piane

Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe

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32. In quanti punti si segano due curve, gli ordini delle quali siano $n, \, n'$? [46] Ammetto, come principio evidente, che il numero delle intersezioni dipenda unicamente dai numeri $n, \, n'$, talché rimanga invariato, sostituendo alle curve date altri luoghi dello stesso ordine. Se alla curva d'ordine $n'$ si sostituiscono $n'$ rette, queste incontrano la curva d'ordine $n$ in $nn'$ punti; dunque: due curve, i cui ordini siano $n,\, n'$, si segano in $nn'$ punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti).

Si dirà che due curve hanno un contatto bipunto, tripunto, quadripunto, cinquipunto, sipunto, ... quando esse abbiano due, tre, quattro, cinque, sei, ... punti consecutivi comuni, e per conseguenza anche due, tre, quattro, cinque, sei, ... tangenti consecutive comuni.

Se per un punto $a$ passano $r$ rami di una curva ed $r'$ di un' altra, quel punto dee considerarsi come intersezione di ciascun ramo della prima curva con ciascun ramo della seconda, epperò equivale ad $rr'$ intersezioni sovrapposte. Se, inoltre, un ramo della prima curva ed un ramo della seconda hanno in $a$ la tangente comune, essi avranno ivi due punti comuni, onde $a$ equivarrà ad $rr' +1$ intersezioni. In generale, se in $a$ le due curve hanno $s$ tangenti comuni, $a$ equivale ad $rr'+s$ punti comuni alle due curve.

Come caso speciale, quando le $r$ tangenti della prima curva e le $r'$ dell'altra, nel punto comune $a$, coincidono tutte insieme in una sola retta $T$, questa, supposto $r'< r$, rappresenta $r'$ tangenti comuni, onde il numero delle intersezioni riunite in $a$ sarà $r'(r + 1)$. Ma questo numero può divenir più grande [47], ogniqualvolta la retta $T$ abbia un contatto più intimo con alcuna delle linee proposte, cioè la incontri in più di $r+1$ od $r'+1$ punti riuniti in $a$. Per esempio, se in $a$ la retta $T$ avesse $2r$ punti comuni colla prima curva ed $r'+1$ colla seconda, il punto $a$ equivarrebbe ad $r(r'+1)$ intersezioni delle due curve. Del che è facile persuadersi, assumendo un sistema di $r$ curve $K$ di second' ordine aventi un punto comune $a$ ed ivi toccate da una stessa retta $T$; ed inoltre un' altra curva qualunque $C$ dotata di $r'$ rami passanti per $a$ ed ivi aventi la comune tangente $T$. In tal caso il punto $a$ rappresenta $r'+1$ intersezioni di $C$ con ciascuna delle curve $K$; epperò equivale ad $r(r'+1)$ punti comuni a $C$ ed al sistema completo delle curve $K$.

Analogamente si dimostra che due curve, le cui classi siano $m,\, m'$, hanno $mm'$ tangenti comuni. Ecc.

Note