Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria de' centri armonici

Art. 3. Teoria de' centri armonici

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 3. Teoria de' centri armonici

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11. Sopra una retta siano dati $n$ punti $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ ed un polo $o$. Sia poi $m$ un punto della retta medesima, tale che la somma dei prodotti degli $n$ rapporti $\frac{ma}{oa}$, presi ad $r$ ad $r$, sia nulla. Esprimendo questo somma il simbolo $\sum \left( \frac{ma}{oa}\right)_r$, il punto $m$ sarà determinato per mezzo della equazione:

1)	$\sum \left( \frac{ma}{oa}\right)_r=0$,

che per l'identità $ma = oa - om$, può anche scriversi:

2)	$\sum \left( \frac{1}{om}-\frac{1}{oa}\right)_r=0$,

ossia sviluppando:

3)

$\begin{bmatrix} n \\ r \\ \end{bmatrix}\left(\frac{1}{om}\right)^r - \begin{bmatrix} n-1 \\ r-1 \\ \end{bmatrix}\left(\frac{1}{om}\right)^{r-1}\sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1 +$ $+ \begin{bmatrix} n-2 \\ r-2 \\ \end{bmatrix}\left(\frac{1}{om}\right)^{r-2}\sum \left(\frac{1}{oa}\right)_2 - \dots =0;$

ove il simbolo $\begin{bmatrix} n \\ r \\ \end{bmatrix}$ esprime il numero delle combinazioni di $n$ cose prese ad $r$ ad $r$.

L’equazione 3), del grado $r$ rispetto ad $om$, dà $r$ posizioni pel punto $m$: tali $r$ punti $m_1, \,m_2, \dots, m_r$ si chiameranno centri armonici, del grado $r$, del dato sistema di punti $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto al polo $o$.

Quando $r= 1$, si ha un solo punto $m$, che è stato considerato da Poncelet sotto il nome di centro delle medie armoniche.

Se inoltre è $n = 2$, il punto $m$ diviene il coniugato armonico di $o$ rispetto ai due $a_1, \, a_2$ (4).

12. Se l’equazione 1) si moltiplica per $oa_1.a_2\dots oa_n$ e si divide per $ma_1,\, ma_2, \dots, ... ma_n$, essa si muta evidentemente in quest’altra:

4)	$\sum \left(\frac{oa}{ma}\right)_{n-r}=0$,

donde si raccoglie:

Se $m$ è un centro armonico, del grado $r$, del dato sistema di punti rispetto al polo $o$, viceversa $o$ è un centro armonico, del grado $n - r$, del medesimo sistema rispetto al polo $m$.

13. Essendo $m_1, \,m_2, \dots, m_r$ gli $r$ punti che soddisfanno all’equazione 3), sia $\mu$ il loro centro armonico di primo grado rispetto al polo $o$ avremo l’equazione:

$\sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{om} \right)_1=0$

analoga alla 2), ossia sviluppando:

$\frac{r}{o\mu} = \sum \left(\frac{1}{om}\right)_1$.

Ma, in virtù della 3), è:

$\sum \left(\frac{1}{om}\right)_1 =\frac{r}{n}\sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1$,

dunque:

$\frac{n}{o\mu} = \sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1$,

ossia:

$\sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{oa}\right)_1=0$.

Ciò significa che $\mu$ è il centro armonico, di primo grado, del dato sistema di punti $a_1,\, a_2, \dots, a_n$ an rispetto al polo $o$.

Indicando ora con $\mu$ uno de' due centri armonici, di secondo grado, del sistema $m_1, \, m_2, \dots, m_{r}$ rispetto al polo $o$, avremo l'equazione analoga alla 2):

$\sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{om}\right)_2=0$,

ossia, sviluppando:

$\frac{r(r-1)}{2} \left(\frac{1}{o\mu} \right)^2 - (r-1)\frac{1}{o\mu}\sum \left(\frac{1}{om} \right)_1 + \sum \left(\frac{1}{om} \right)_2=0$,

Ma, in virtù della 3), si ha:

$\sum \left(\frac{1}{om}\right)_1= \frac{r}{n} \sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1, \quad \sum \left(\frac{1}{om}\right)_2= \frac{r(r-1)}{n(n-1)} \sum \left(\frac{1}{oa}\right)_2$,

onde sostituendo ne verrà:

$\frac{n(n-1)}{2} \left(\frac{1}{o\mu} \right)^2 - (n-1)\frac{1}{o\mu}\sum \left(\frac{1}{oa} \right)_1 + \sum \left(\frac{1}{oa} \right)_2=0$,

vale a dire:

$\sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{oa}\right)_2=0$;

dunque $\mu$ è un centro armonico, di secondo grado, del sistema $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto al polo $o$.

Lo stesso risultato si ottiene continuando a rappresentare con $\mu$ un centro armonico, del terzo, quarto, ... $(r-1)$^esimo grado, del sistema $m_1,\, m_2, \dots, m_r$ rispetto al polo $o$. Dunque:

Se $m_1, \, m_2, \dots, m_r$ sonò i centri armonici, di grado $r$, del dato sistema $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto al polo $o$, i centri armonici, di grado $s$ ($s<r$), del sistema $m_1, \, m_2, \dots, m_r$ rispetto al polo $o$ sono anche i centri armonici, del grado $s$, del sistema dato rispetto allo stesso polo $o$.

14. Se $m$ è un centro armonico, del grado $n - 1$, del dato sistema $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto al polo $o$, si avrà l'equazione 4) nella quale sia posto $r=n - 1$. Vi s'introduca un arbitrario punto $i$ (della retta data) mediante le note identità $oa = oi + ia$, $ma = ia - im$, onde si avrà:

$\sum \left(\frac{oi +ia}{ia -im} \right)_1 =0$,

ossia, sviluppando:

5)	$\overline{im}^{n-1} \left[n.oi + \sum (ia)_1 \right] - \overline{im}^{n-2} \left[(n-1).io\sum (ia)_1 + 2\sum (ia)_2 \right]+$ $+\overline{im}^{n-3} \left[(n-2).oi\sum (ia)_2 + 3\sum (ia)_3 \right] -\dots$ $+ (-1)^{n-1} \left[oi\sum (ia)_{n-1} + n\sum (ia)_n \right]=0$.

Siano $m_1, \, m_2, \dots, m_{n-1}$ i centri armonici, di grado $n - 1$, del dato sistema rispetto al polo $o$, cioè i punti che soddisfanno alla 5); si avrà:

$\sum (im)_r =\frac{(n-r)oi \sum (ia)_r + (r+1) \sum (ia)_{r+1}}{n.io + \sum (ia)_1}$.

Ora sia $\mu$ uno de' centri armonici, del grado $n - 2$, del sistema $m_1,\, m_2, \dots, m_{n-1}$ rispetto ad un punto $o'$ (della retta data); avremo analogamente alla 5):

$\overline{i\mu}^{n-2} \left[(n-1).o'i + \sum (im)_1 \right] - \overline{i\mu}^{n-3} \left[(n-2).o'i\sum (im)_1 + 2\sum (im)_2 \right]+\dots$

$+ (-1)^{n-2} \left[o'i\sum (im)_{n-2} + (n-1)\sum (im)_{n-1} \right]=0$.

In questa equazione posto per $\sum (im)_r$ il valore antecedentemente scritto, si ottiene:

$A.oi.o'i + B.(oi+o'i) +C=0$,

ove
$A=n(n-1)\overline{i\mu}^{n-2} - (n-1)(n-2) \overline{i\mu}^{n-3} \sum (ia)_1 + (n-2)(n-3) \overline{i\mu}^{n-4} \sum (ia)_2 -\dots,$

$B=(n-1)\overline{i\mu}^{n-2}\sum (ia)_1 - 2(n-2) \overline{i\mu}^{n-3} \sum (ia)_2 + 3(n-3) \overline{i\mu}^{n-4} \sum (ia)_3 -\dots,$

$C=1.2\overline{i\mu}^{n-2}\sum (ia)_2 - 2.3 \overline{i\mu}^{n-3} \sum (ia)_3 + 3.4 \overline{i\mu}^{n-4} \sum (ia)_4 -\dots;$

il qual risultato, essendo simmetrico rispetto ad $o, \, o'$, significa che:

Se $m_1,\, m_2, \dots, m_{n-1}$ sono i centri armonici, di grado $n - 1$, del sistema $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto al polo $o$, e se $m_1', \, m_2', \dots, m_{n-1}'$ sono i centri armonici, di grado $n - 1$, dello stesso sistema $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto ad un altro polo $o'$; i centri armonici, del grado $n - 2$, del sistema $m_1, \, m_2, \dots, m_{n-1}$ rispetto al polo $o'$ coincidono coi centri armonici, del grado $n - 2$, del sistema $m_1', \, m_2', \dots, m_{n-1}'$ rispetto al polo $o$.

Questo teorema, ripetuto successivamente, può essere esteso ai centri armonici di grado qualunque, e allora s'enuncia così:

Se $m_1, \, m_2, \dots, m_r$ sono i centri armonici, di grado $r$, del sistema dato $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto al polo $o$, e se $m_1', \, m_2',\dots, m_{r'}'$ sono i centri armonici, di grado $r'$, dello stesso sistema dato rispetto ad un altro polo $o'$, i centri armonici, di grado $r+ r'- n$, del sistema $m_1, \, m_2, \dots, m_r$ rispetto al polo $o'$ coincidono coi centri armonici, di grado $r + r' - n$, del sistema $m_1', \, m_2',\dots, m_{r'}'$, rispetto al polo $o$.

15. Se $m$ e $\mu$ sono rispettivamente i centri armonici, di primo grado, dei sistemi $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ ed $a_2, \, a_3, \dots, a_n$, rispetto al polo $o$, si avrà:

$\frac{n}{om} = \frac{1}{oa_1}+\frac{1}{oa_2} + \dots \frac{1}{oa_n},$

$\frac{n-1}{o\mu}=\frac{1}{oa_2}+\frac{1}{oa_3} + \dots \frac{1}{oa_n}$.

Se $a_1$ è il centro armonico, di primo grado, del sistema di punti $a_2, \, a_3, \dots, a_n$ rispetto al polo $o$, il punto $a_1$ è anche il centro armonico, di primo grado, del sistema $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto allo stesso polo.

16. Fin qui abbiamo tacitamente supposto che i dati punti $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ fossero distinti, ciascuno dai restanti. Suppongasi ora che $r$ punti $a_n, \, a_{n-1}, \dots, a_{n-r+1}$ coincidano in un solo, che denoteremo con $a_0$. Allora, se nella equazione 5) si assume $a_0$ in luogo dell'origine arbitraria $i$, risulta evidentemente:

$\sum (ia)_n=0, \quad \sum (ia)_{n-1}=0, \dots, \sum (ia)_{n-r+1}=0$,

onde l'equazione 5) riesce divisibile per $\overline{a_0m}^{r-1}$, cioè $r - 1$ centri armonici del grado $n-1$ cadono in $a_0$, e ciò qualunque sia il polo $o$. Ne segue inoltre, avuto riguardo al teorema (13), che in $a_0$ cadono $r - 2$ centri armonici di grado $n - 2$; $r - 3$ centri armonici di grado $n - 3,\dots$ ed un centro armonico di grado $n - r+1$.

17. L'equazione 3) moltiplicata per $\overline{om}^r$ e per $(-1)^r oa_1.oa_2\dots oa_n$ diviene:

6)	$\overline{om}^r \sum (oa)_{n-r} - (n-r+1) \overline{om}^{r-1}\sum (oa)_{n-r+1} +$ $+\frac{(n-r+2)(n-r+1)}{2}\overline{om}^{r-2}\sum (oa)_{n-r+2}+\dots$ $+ (-1)^r\frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{1.2\dots r}\sum (oa)_{n}=0$.

Suppongo ora che il polo $o$ coincida, insieme con $a_n, \, a_{n-1}, \dots, a_{n-s+1}$, in un unico punto. Allora si ha:

$\sum (oa)_{n}=0, \quad \sum (oa)_{n-1}=0, \dots, \sum (oa)_{n-s+1}=0$;

quindi l'equazione che precede riesce divisibile per $\overline{om}^s$, ossia il polo $o$ tien luogo di $s$ centri armonici di grado qualunque. Gli altri $r - s$ centri armonici, di grado $r$, sono dati dall' equazione:

$\overline{om}^{r-s} - (n-r+1) \overline{om}^{r-s-1} \sum (oa)_{n-r+1} +$

$\frac{(n-r+2)(n-r+1)}{1.2} \overline{om}^{r-s-2} \sum (oa)_{n-r+2}-\dots =0$,

ove le somme $\sum (oa)$ contengono solamente i punti $a_1, \, a_2, \dots, a_{n-s}$. Dunque, gli altri $r -s$ punti $m$, che insieme ad $o$ preso $s$ volte costituiscono i centri armonici, di grado $r$, del sistema $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto al polo $o$, sono i centri armonici, di grado $r-s$, del sistema $a_1, \, a_2, \dots, a_{n-s}$ rispetto allo stesso polo $o$.

Si noti poi che, per $s = r +1$, l'ultima equazione è soddisfatta identicamente, qualunque sia $m$. Cioè, se $r +1$ punti $a$ ed il polo $o$ coincidono insieme, i centri armonici del grado $r$ riescono indeterminati, onde potrà assumersi come tale un punto qualunque della retta $a_1, \, a_2, \dots, ...$.

Fig. 5.

18. Abbiasi, come sopra (11), in una retta $R$ (fig. 5.^a) un sistema di $n$ punti $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ ed un polo $o$; sia inoltre $m$ un centro armonico di grado $r$, onde fra i segmenti $ma$, $oa$ sussisterà la relazione 1). Assunto un punto arbitrario $c$ fuori di $R$ e da esso tirate le rette ai punti $o,\, a,\, m$, seghinsi queste con una trasversale qualunque $R'$ nei punti $o',\, a', \, m'$. Allora si avrà:

$\frac{ma}{ca}:\frac{m'a'}{ca'}=\frac{\sin{cm'a'}}{\sin{cma}}$,

ed analogamente:

$\frac{oa}{ca}:\frac{o'a'}{ca'}=\frac{\sin{co'a'}}{\sin{coa}}$,

donde si ricava:

$\frac{ma}{oa}:\frac{m'a'}{o'a'}=\frac{\sin{cm'a'}}{\sin{co'a'}}:\frac{\sin{cma}}{\sin{coa}}$.

Il secondo membro di questa equazione non varia, mutando i punti $a,\, a'$, quindi avremo :

$\frac{ma_1}{oa_1}:\frac{ma_2}{oa_2}:\dots:\frac{ma_n}{oa_n} = \frac{m'a_1'}{o'a_1'}:\frac{m'a_2'}{o'a_2'}:\dots:\frac{m'a_n'}{o'a_n'}$.

Siccome poi la relazione 1) è omogenea rispetto alle quantità $\frac{ma}{oa}$, così se ne dedurrà:

$\sum \left(\frac{m'a'}{o'a'}\right)_r=0$,

cioè :

Se $m$ è un centro armonico, di grado $r$, di un dato sistema di punti $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ situati in linea retta, rispetto al polo $o$ posto nella stessa retta, e se tutti questi punti si projettano, mediante raggi concorrenti in un punto arbitrario, sopra una trasversale qualunque, il punto $m'$ (projezione di $m$) sarà un centro armonico, di grado $r$, del sistema di punti $a_1', \, a_2', \dots a_n'$ (projezioni di $a_1, \, a_2, \dots, a_n$) rispetto al polo $o'$ (projezione di $o$).

Questo teorema ci abilita a trasportare ad un sistema di rette concorrenti in un punto le definizioni ed i teoremi superiormente stabiliti per un sistema di punti allineati sopra una retta.

19. Sia dato un sistema di $n$ rette $A_1, \, A_2, \dots, A_n$ ed un'altra retta $O$, tutte situate in uno stesso piano e passanti per un punto fisso $c$. Condotta una trasversale arbitraria $R$ che, senza passare per $c$, seghi le rette date in $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ ed $o$, si imaginino gli $r$ centri armonici $m_1, \, m_2, \dots, m_r$, di grado $r$, del sistema di punti $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ rispetto al polo $o$. Le rette $M_1, \, M_2, \dots, M_r$ condotte da $c$ ai punti $m_1, \, m_2, \dots, m_r$ si chiameranno assi armonici, di grado $r$, del dato sistema di rette $A_1, \, A_2, \dots, A_n$ rispetto alla retta $O$.

Considerando esclusivamente rette passanti per $c$, avranno luogo i seguenti teoremi, analoghi a quelli già dimostrati per un sistema di punti in linea retta. [43]

Se $M$ è un asse armonico, di grado $r$, del dato sistema di rette $A_1, \, A_2, \dots, A_n$ rispetto alla retta $O$, viceversa $O$ è un asse armonico di grado $n-r$, del medesimo sistema, rispetto alla retta $M$.

Se $M_1, \, M_2, \dots, M_r$ sono gli assi armonici, di grado $r$, del dato sistema $A_1, \, A_2, \dots, A_n$, rispetto alla retta $O$, gli assi armonici, di grado $s \, (s<r)$, del sistema $M_1, \, M_2, \dots, M_r$, rispetto ad $O$, sono anche gli assi armonici, del grado $s$, del sistema dato, rispetto alla stessa retta $O$.

Se $M_1, \, M_2, \dots, M_r$ sono gli assi armonici, di grado $r$, del sistema dato $A_1, \, A_2, \dots, A_n$ rispetto alla retta $O$ e se $M_1', \, M_2', \dots, M_{r'}'$ sono gli assi armonici, di grado $r'$, dello stesso sistema dato, rispetto ad un'altra retta $O'$; gli assi armonici, di grado $r+r'-n$, del sistema $M_1, \, M_2, \dots, M_r$, rispetto alla retta $O'$, coincidono cogli assi armonici, di grado $r+r' - n$, del sistema $M_1', \, M_2', \dots, M_{r'}'$, rispetto alla retta $O$.

Qualunque sia la retta $O$, se $r$ fra le rette date $A_1, \, A_2, \dots, A_n$ coincidono in una sola, questa tien luogo di $r - 1$ assi armonici di grado $n - 1$, di $r - 2$ assi armonici di grado $n- 2 ,\dots$ di un asse armonico di grado $n - r + 1$.

Se $s$ rette $A_n, \, A_{n-1}, \dots, A_{n-s+1}$ coincidono fra loro e colla retta $O$, questa tien luogo di $s$ assi armonici di qualunque grado, e gli altri $r - s$ assi armonici, di grado $r$, sono gli assi armonici, di grado $r - s$, del sistema $A_1, \, A_2, \dots, A_{n-s}$ rispetto ad $O$.

20. Se al § 18 la trasversale $R'$ vien condotta pel punto $o$, ossia se la retta $R$ si fa girare intorno ad $o$, il teorema ivi dimostrato può essere enunciato così:

Siano date $n$ rette $A_1, \, A_2, \dots, A_n$ concorrenti in un punto $c$. Se per un polo fisso $o$ si conduce una trasversale arbitraria $R$ che seghi quelle $n$ rette ne' punti $a_1, \, a_2, \dots, a_n$, i centri armonici di grado $r$, del sistema $a_1, \, a_2, \dots, a_n$, rispetto al polo $o$, generano, ruotando $R$ intorno ad $o$, $r$ rette $M_1, \, M_2, \dots, M_r$ concorrenti in $c$.

E dagli ultimi due teoremi (19) segue:

Se $s$ rette $A_n, \, A_{n-1}, \dots A_{n-s+1}$ fra le date coincidono in una sola $A_0$, questa tien luogo di $s - (n - r)$ delle rette $M_1, \, M_2, \dots, M_r$. Se inoltre $A_0$ passa pel polo $o$, essa tien luogo di $s$ delle rette $M_1, \, M_2, \dots, M_r$. Le rimanenti $r - s$, fra queste rette, sono il luogo de' centri armonici di grado $r - s$ (rispetto al polo $o$) de' punti, in cui $R$ sega le rette $A_1, \, A_2, \dots, A_{n-s}$.

Note