Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria dell'involuzione

Art. 4. Teoria dell'involuzione

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Luigi Cremona - Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (1862)

Art. 4. Teoria dell'involuzione

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Definizioni relative alle linee piane

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21. Data una retta, sia $o$ un punto fisso in essa, $a$ un punto variabile; inoltre siano $k_1, \, k_2, \dots, h_1, \, h_2, \dots$ quantità costanti ed $\omega$ una quantità variabile. Ora abbiasi un' equazione della forma:

1)	$k_n \overline{oa}^n + k_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots + k_0 +$ $\omega \left\{ h_n \overline{oa}^n + h_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots + h_0 \right\}=0$

Ogni valore di $\omega$ dà $n$ valori di $oa$, cioè dà un gruppo di $n$ punti $a$. Invece, se è dato uno di questi punti, sostituendo nella 1) il dato valore di $oa$, se ne dedurrà il corrispondente valore di $\omega$, e quindi, per mezzo dell'equazione medesima, si otterranno gli altri $n - 1$ valori di $oa$. Dunque, per ogni valore di $\omega$, l'equazione 1) rappresenta un gruppo di $n$ punti così legati fra loro, che uno qualunque di essi determina tutti gli altri. Il sistema degli infiniti gruppi di $n$ punti, corrispondenti agli infiniti valori di $\omega$, dicesi involuzione del grado $n$. Una semplice punteggiata può considerarsi come un'involuzione di primo grado (§ 7). Un'involuzione è determinata da due gruppi. Infatti, se le equazioni:

$k_n \overline{oa}^n + k_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots =0, \quad h_n \overline{oa}^n + h_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots =0$

rappresentano i due gruppi dati, ogni altro gruppo dell'involuzione sarà rappresentato dalla :

$k_n \overline{oa}^n + k_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots + \omega \left( h_n \overline{oa}^n + h_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots \right)=0,$

ove $\omega$ sia una quantità arbitraria.

22. Ogni qualvolta due punti a d'uno stesso gruppo coincidano in un solo, diremo che questo è un punto doppio dell'involuzione. Quanti punti doppi ha l'involuzione rappresentata dall' equazione 1) ? La condizione che quest' equazione abbia due radici eguali si esprime eguagliando a zero il discriminante della medesima. Questo discriminante è una funzione, del grado $2(n-1)$, de' coefficienti dell'equazione; dunque, egua- gliandolo a zero, si avrà un'equazione del grado $2(n-1)$ in $\omega$. Ciò significa esservi $2(n - 1)$ gruppi, ciascuno de' quali contiene due punti coincidenti, ossia:

Un'involuzione del grado $n$ ha $2(n - 1)$ punti doppi.

23. Siano $a_1, \, a_2, \dots, a_n$ gli $n$ punti costituenti un dato gruppo. Il centro armonico $m$, di primo grado, di questi punti, rispetto ad un polo $o$ preso ad arbitrio sulla retta data, è determinato dall'equazione:

$\frac{n}{om}=\sum \left( \frac{1}{oa}\right)_1$,

donde, avuto riguardo alla 1), si trae:

$om = -n \frac{k_0+\omega h_0}{k_1 + \omega h_1}.$

Quindi, il segmento compreso fra due punti $m, \, m'$, centri armonici di due gruppi diversi, si potrà esprimere così:

$mm' = om' - om = \frac{n(h_0k_1 - h_1k_0)(\omega-\omega')}{(k_1 + \omega h_1)(k_1 + \omega'h_1)}.$

Siano ora $m_1,\, m_2,\, m_3, \, m_4$ i centri armonici (di primo grado e relativi al polo $o$) di quattro gruppi, corrispondenti a quattro valori $\omega_1, \, \omega_2, \, \omega_3, \, \omega_4$ di $\omega$; avremo:

$(m_1 m_2 m_3 m_4) = \frac{\omega_1 -\omega_3}{\omega_2 - \omega_3}: \frac{\omega_1 -\omega_4}{\omega_2 - \omega_4};$

questo risultato non si altera, se invece di $o$ si assuma un altro punto; cioè il rapporto anarmonico dei quattro centri è indipendente dal polo $o$. Ne segue che la serie de' centri armonici (di primo grado) di tutt' i gruppi, rispetto ad un polo $o$, e la serie de' centri armonici (dello stesso grado) de' gruppi medesimi, rispetto ad un altro polo $o'$, sono due punteggiate projettive.

Per rapporto anarmonico di quattro gruppi di un'involuzione, intenderemo il rapporto anarmonico de' loro centri armonici di primo grado, relativi ad un polo arbitrario. Sia $m$ uno de' centri armonici, di grado $r$ (rispetto ad un polo $o$), di un dato gruppo dell'involuzione 1). L'equazione 6) del § 17, avuto riguardo alla 1) del § 21, ci darà:

2)	$\overline{om}^r (k_r+\omega h_r) + (n-r+1)\overline{om}^{r-1} (k_{r-1}+\omega h_{r-1})+ \dots$ $+ \frac{n(n-1)\dots (n-r+1)}{1.2\dots r} (k_0+\omega h_0)=0;$

dunque: i centri armonici, di grado $r$, de' gruppi dell'involuzione 1) formano una nuova involuzione del grado $r$. Ogni valore di $\omega$ dà un gruppo dell'involuzione 1) ed un gruppo dell'involuzione 2), cioè i gruppi delle due involuzioni si corrispondono tra loro ad uno ad uno. E siccome il rapporto anarmonico di quattro gruppi dipende esclusivamente dai quattro corrispondenti valori di $\omega$, così il rapporto anarmonico di quattro gruppi dell'involuzione 2) è eguale al rapporto anarmonico de' quattro corrispondenti gruppi dell'involuzione 1). La qual cosa risulta anche da ciò, che due gruppi corrispondenti delle due involuzioni hanno, rispetto al polo $o$, lo stesso centro armonico di primo grado (§ 13).

24. Due involuzioni date sopra una stessa retta o sopra due rette diverse si diranno projettive, quando i centri armonici, di primo grado, de' gruppi dell'una, rispetto ad un polo qualunque, ed i centri armonici, di primo grado, de' gruppi dell'altra, rispetto ad un altro polo qualunque, formino due punteggiate projettive. Da questa definizione e da quella del rapporto anarmonico di quattro gruppi di un'involuzione si raccoglie che:

Date due involuzioni projettive, il rapporto anarmonico di quattro gruppi dell'una è eguale al rapporto anarmonico de' quattro corrispondenti gruppi dell'altra.

Cioè il teorema enunciato alla fine del § 8 comprende anche le involuzioni, purché queste si risguardino quali forme geometriche, i cui elementi sono gruppi di punti.

(a) Cerchiamo come si esprima la projettività di due involuzioni.

La prima di esse si rappresenti coll'equazione 1) e la seconda con quest'altra:

3)	$K_m \overline{OA}^m + \dots + K_0 + \theta \left\{ H_m \overline{OA}^m + \dots + H_0\right\}=0,$

ove $A$ è un punto qualunque della retta, nella quale è data la seconda involuzione; $O$ è l'origine de' segmenti in questa retta; $H_m,\, K_m, \dots$ sono coefficienti costanti.

Supponiamo, com'è evidentemente lecito, che ai gruppi $\omega = 0,\, \omega =\infty, \, \omega = 1$ della prima involuzione corrispondano nella seconda i gruppi $\theta = 0, \, \theta= \infty, \, \theta =1$. Allora, affinchè le equazioni 1) e 3) rappresentino due gruppi corrispondenti, è necessario e sufficiente che il rapporto anarmonico dei quattro gruppi $\omega = (0 ,\infty, 1, \omega)$ della prima involuzione sia eguale a quello de' gruppi $\theta = (0, \infty, 1,\theta)$ della seconda, cioè dev'essere $\omega= \theta$. Dunque la seconda involuzione, a cagione della sua projettività colla prima, si potò rappresentare così:

4)	$K_m \overline{OA}^m + \dots + K_0 + \omega \left\{ H_m \overline{OA}^m + \dots + H_0\right\} =0.$

Le equazioni 1) e 4), per uno stesso valore di $\omega$, danno due gruppi corrispondenti delle due involuzioni projettive. Ed eliminando $\omega$ fra le equazioni medesime si avrà la relazione che esprime il legame o la corrispondenza dei punti $a,\, A$.

(b) Se le due involuzioni sono in una stessa retta, i punti $a,\, A$ si possono riferire ad una sola e medesima origine: cioè al punto $O$ può sostituirsi $o$. In questo caso, si può anche domandare quante volte il punto $a$ coincida con uno de' corrispondenti punti $A$. Eliminato $\omega$ dalle 1), 4) e posto $oa$ in luogo di $OA$, si ha la:

5)	$(k_n.\overline{oa}^n + \dots + k_0) (H_m.\overline{oa}^m + \dots H_0)-$ $(h_n.\overline{oa}^n + \dots + h_0) (K_m.\overline{oa}^m + \dots K_0)=0$,

equazione del grado $n+m$ rispetto ad $oa$. Dunque:

In una retta, nella quale sian date due involuzioni projettive, l'una di grado $n$, l'altra di grado $m$, esistono generalmente $n + m$ punti, ciascun de' quali considerato come appartenente alla prima involuzione, coincide con uno de' punti corrispondenti nella seconda.

Questi si chiameranno i punti comuni alle due involuzioni.

(c) Se l'equazione 1) contenesse nel suo primo membro il fattore $\overline{oa}^r$, essa rappresenterebbe un'involuzione del grado $n$, i cui gruppi avrebbero $r$ punti comuni, tutti riuniti in $o$; ossia rappresenterebbe sostanzialmente un'involuzione del grado $n-r$, a ciascun gruppo della quale è aggiunto $r$ volte il punto $o$. In tal caso è manifesto che anche il primo membro dell'equazione 5) sarà divisibile per $\overline{oa}^r$; cioè gli $n+m$ punti comuni alle due involuzioni proposte saranno costituiti dal punto $o$ preso $r$ volte e dagli $m + n - r$ punti comuni alla seconda involuzione (di grado $m$) ed a quella di grado $n - r$, alla quale si riduce la prima, spogliandone i gruppi del punto $o$. Se inoltre i gruppi della seconda involuzione contenessero $s$ volte il punto $o$, questo figurerebbe $r + s$ volte fra i punti comuni alle due involuzioni.

(d) Se un gruppo della prima involuzione (per es. quello che si ha ponendo $\omega=0$) contiene $r$ volte uno stesso punto $o$, e se il corrispondente gruppo della seconda involuzione contiene $s$ volte lo stesso punto $o$, ove sia $s>r$, è evidente che l'equazione 5) conterrà nel primo membro il fattore $\overline{oa}^r$, cioè il punto $o$ terrà il posto di $r$ punti comuni alle due involuzioni.

25. Merita speciale studio l'involuzione di secondo grado o quadratica, per la quale, fatto $n = 2$ nella 1), si ha un'equazione della forma:

6)	$k_2. \overline{oa}^2 + k_1. oa + k_0 + \omega (h_2 . \overline{oa}^2 + h_1. oa + h_0)=0.$

Qui ciascun gruppo è composto di due soli punti, i quali diconsi coniugati; e chiamasi punto centrale quello, il cui coniugato è a distanza infinita. Posta l'origine $o$ de' segmenti nel punto centrale ed inoltre assunto il gruppo, al quale esso appartiene, come corrispondente ad $\omega=\infty$, dovrà essere $h_2 = h_0 = 0$. Pertanto, se $a,\, a'$ sono due punti coniugati qualunque, l'equazione 6) dà:

$oa. oa' =\frac{k_0}{k_2}=$cost.

Confrontando questa equazione con quella che esprime la projettività di due punteggiate (§ 9):

$ia. j'a' =$ cost.

si vede che l'involuzione quadratica nasce da due punteggiate projettive, le quali vengano sovrapposte in modo da far coincidere i punti $i,\, j'$ corrispondenti ai punti all'infinito. Altrimenti possiam dire che due punteggiate projettive sovrapposte formano un' involuzione (quadratica), quando un punto $a$, considerato come appartenente all'una o all'altra punteggiata, ha per corrispondente un solo e medesimo punto $a'$.

Da tale proprietà si conclude che nell'involuzione quadratica, il rapporto anarmonico di quattro punti è eguale a quello de' loro coniugati.

(a) Siano $e,\, f$ i due punti doppi (§ 22) dell'involuzione, determinati dall'eguaglianza

$oe^2 = of^2 =$ cost.; avremo:

$(efaa')= (efa'a),$

cioè il rapporto anarmonico $(efaa')$ è eguale al suo reciproco, epperò è $= - 1$, non potendo mai il rapporto anarmonico di quattro punti distinti essere eguale all'unità positiva. Dunque: nell'involuzione quadratica, i due punti doppi e due punti coniugati qualunque formano un sistema armonico.

Ne segue che un'involuzione di secondo grado si può considerare come la serie delle infinite coppie di punti $a, \, a'$ che dividono armonicamente un dato segmento $ef$.

(b) Due involuzioni quadratiche situate in una stessa retta hanno un gruppo comune, cioè vi sono due punti $a, \, a'$ tali, che il segmento $aa'$ è diviso armonicamente sì dai punti doppi $e,\, f$ della prima, che dai punti doppi $g,\, h$ della seconda involuzione. Infatti: sia preso un punto qualunque $m$ nella retta data; siano $m'$ ed $m_1$, i coniugati di $m$ nelle due involuzioni. Variando $m$, i punti $m',\, m_1$, generano due punteggiate projettive, i punti comuni delle quali costituiscono evidentemente il gruppo comune alle due involuzioni proposte.

È pure evidente che due involuzioni di grado eguale, ma superiore al secondo, situate in una stessa retta, non avranno in generale alcun gruppo comune.

26. La teoria dell'involuzione quadratica ci servirà nel risolvere il problema che segue.

Se $a, \, b, \, c, \, d$ sono quattro punti in linea retta, abbiamo denominati fondamentali (§ 1) i tre rapporti anarmonici:

$(abcd) = \lambda,\, (acdb) = \frac{1}{1-\lambda}, \, (adbc) = \frac{\lambda-1}{\lambda}.$

Se i primi due rapporti sono eguali fra loro, vale a dire, se:

7)	$\lambda =\frac{1}{1-\lambda}$ ossia $\lambda^2 - \lambda + 1 = 0,$

si ha anche:

$\lambda = \frac{\lambda-1}{\lambda},$

cioè tutti e tre i rapporti anarmonici fondamentali sono eguali fra loro.

Dati i punti $a, \, b, \, c$ in una retta, cerchiamo di determinare in questa un punto $d$, tale che sodisfaccia all'eguaglianza:

$(abcd) = (acdb),$

ossia:

$(abcd) = (cabd).$

Assunto ad arbitrio nella retta data un punto $m$, si determini un punto $m'$ per modo che sia

$(abcm) = (cabm').$

Variando simultaneamente $m, \, m'$ generano due punteggiate proiettive, nelle quali ai punti $a,\, b,\, c,\, m$ corrispondono ordinatamente $c,\, a,\, b,\, m'$. Se chiamansi $d,\, e$ i punti comuni di queste punteggiate, si avrà:

$(abcd) = (cabd), \quad (abce) = (cabe),$

cioè il proposto problema è risoluto da ciascuno de' punti $d,\, e$.

Ora siano $\alpha,\, \beta, \, \gamma$ i tre punti della retta data, che rendono armonici i tre sistemi $(b,c,a, \alpha)$, $(c,a,b,\beta)$, $(a, b, c,\gamma)$; i due sistemi $(a, b, c, \gamma)$, $(a, c,b,\beta)$ saranno projettivi, e siccome al punto $b$, considerato come appartenente all' uno o all'altro sistema, corrisponde sempre $c$, così le tre coppie $aa,\, bc, \, \beta\gamma$ sono in involuzione, cioè $a$ è un punto doppio dell'involuzione quadratica determinata dalle coppie $bc, \, \beta\gamma$. L'altro punto doppio della stessa involuzione è $\alpha$, poiché il segmento $bc$ è diviso armonicamente dai punti $a,\, \alpha$. Dunque $a,\, \alpha$ dividono armonicamente non solo $bc$, ma anche $\beta\gamma$. Si ha perciò:

$(bca\alpha) = (\beta\gamma a \alpha) = - 1,$

ossia i sistemi $(b,c,a,\alpha)$, $(\beta, \gamma, \alpha, a)$ sono projettivi: la qual cosa torna a dire che le coppie $a\alpha, \, b\beta, \, c\gamma$ sono in involuzione. [45]

Da un punto $o$ preso ad arbitrio fuori della retta data imagininsi condotti i raggi $o(a,\alpha,b,\beta,c,\gamma)$ e $o(d,e)$, i quali tutti si seghino con una trasversale parallela ad $oc$ nei punti $a', \, \alpha', \, b',\, \beta', \, \infty,\, \gamma',\, d',\, e'$. Avremo:

$\lambda= (acdb) = (a'\infty d'b')=\frac{a'd'}{a'b'},$

onde la 7) diverrà:

8)	$\overline{a'd'}^2 - a'd'.a'b' + \overline{a'b'}^2=0.$

Essendo $(abc\gamma) = - 1$, si ha $(a'b'\infty \gamma') = -1$, cioè $\gamma'$ è il punto medio del segmento $a'b'$. Quindi, per le identità: $a'd' = \gamma'd' - \gamma'a'$, $a'b' = - 2\gamma'a'$, la 8) diviene:

9)	$\overline{\gamma'd'}^2 = \overline{\gamma'e'}^2 = 3 \gamma'a'. \gamma'b',$

donde si ricava che $\gamma'$ è il punto medio del segmento $d'e'$, cioè si ha $(d'e'\infty\gamma') =- 1$, epperò $(dec\gamma) =-1$. Similmente si dimostra essere $(deb\beta) = -1$, $(dea\alpha) = - 1$; vale a dire $d,\, e$ sono i punti doppi dell'involuzione $(a\alpha,b\beta,c\gamma)$.

Il rapporto anarmonico $\lambda$ è dato dall' equazione 7), ossia è una radice cubica imaginaria di $-1$. Per conseguenza, i quattro punti $a, \, b, \, c, \, d$ od $a, \, b, \, c, \, e$ non possono essere tutti reali. L'equazione 9) ha il secondo membro negativo o positivo, secondo che $a'b'$ siano punti reali o imaginari coniugati. Dunque, se i tre punti dati $a,\, b,\, c$ sono tutti reali, i punti $d,\, e$ sono imaginari coniugati; ma se due de' tre punti dati sono imaginari coniugati, i punti $d,\, e$ sono reali.

L'equazione 8) poi mostra che, se $a'b' = 0$, anche $a'd' = a'e' = 0$; cioè, se due de' punti dati coincidono in un solo, in questo cadono riuniti anche i punti $d,\, e$.

27. Chiameremo equianarmonico un sistema di quattro punti, i cui rapporti anarmonici fondamentali siano eguali, ossia un sistema di quattro punti aventi per rapporti anarmonici le radici cubiche imaginarie di $-1$.

Quattro punti $m_1, \, m_2, \, m_3, \, m_4$ in linea retta siano rappresentati (§ 6) dall'equazione:

10)	$A. \overline{om}^4 + 4B. \overline{om}^3 + 6 C. \overline{om}^2 + 4D. om + E = 0.$

Se il sistema di questi quattro punti è equianarmonico, si avrà:

$(m_1 m_2 m_3 m_4) = (m_1 m_3 m_4 m_2),$

ovvero, sostituendo ai segmenti $m_1m_2,\dots$ le differenze $om_2-om_1, \dots$:

$(om_1-om_2)(om_1-om_3) (om_4-om_2) (om_4-om_3) +$
$(om_2-om_3)^2 (om_1 - om_4)^2 = 0.$

Sviluppando le operazioni indicate, quest' equazione si manifesta simmetrica rispetto ai quattro segmenti $om$, onde si potrà esprimerla per mezzo dei soli coefficienti della 10). Ed invero, coll' aiuto delle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un'equazione, si trova senza difficoltà:

$AE - 4BD + 3C^2 = 0,$

come condizione necessaria e sufficiente affinchè i quattro punti rappresentati dalla 10) formino un sistema equianarmonico.

Note