Opere matematiche di Luigi Cremona/Note dei revisori-1

Note dei revisori-1

IncludiIntestazione 6 nov. 2008 25% matematica

Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Note dei revisori-1

<...>

[40] Pag. 317. Questa Memoria, secondo l’indicazione che è a pag. 314, fu presentata all’Accademia di Bologna nella sessione ordinaria del 19 dicembre 1861. Giova riferire testualmente la relazione di detta sessione (Rendiconto della citata Accademia, Anno 1861-62, pp. 30-31):

«Il Ch. Prof. L. Cremona legge un sunto d’una sua Memoria sulla Teoria generale delle curve piane.

«Il tomo 47.° del giornale matematico di Crelle (Berlino 1853) contiene fra l’altre una Memoria di sei pagine del celebre Steiner, intitolata: Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven, nella quale sono enunciati senza dimostrazione molti importanti teoremi relativi alle curve algebriche. Recentemente una parte di questi teoremi fu dimostrata dal sig. Clebsch di Carlsruhe, che, a tal uopo, si è servito dell’analisi più elevata e della nuovissima dottrina de’ covarianti. « Il prof. Cremona, persuaso che le scoperte dello Steiner sono dovute a metodi puramente geometrici, ha desiderato di trovare le dimostrazioni taciute dall’ illustre autore. Mirando a tale scopo, gli venne fatto di formare un’estesa teoria geometrica delle curve piane, la quale comprende in sè i risultati pubblicati dai Signori Steiner, Hesse, Clebsch, ecc. ed altri affatto nuovi. Tale teoria riducesi in sostanza ad un ampio sviluppo della teorica delle polari, che l’autore fonda sulle proprietà armoniche di un sistema di punti in linea retta, e sul principio di corrispondenza anarmonica; ed è svolta con metodo semplice ed uniforme. Essa conduce alle più interessanti e generali proprietà delle curve, che, altrimenti trattate, richiede rebbero i più sottili e perfetti artifizj dell’analisi algebrica; ed applicata alle curve del 3.° e 4.° ordine somministra in modo affatto spontaneo i teoremi già ottenuti da Cayley, Hesse, ecc. ».

La Memoria è stata tradotta in tedesco da M. Curtze nel volume intitolato: Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Curven (v. queste Opere, n. 61), volume che in seguito si citerà brevemente con Einleitung. La traduzione è letterale, fatta astrazione da alcune aggiunte o correzioni, delle quali si terrà conto, o nel testo, o in queste note, con apposite avvertenze: rinviando solo le aggiunte più lunghe al detto n. 61. — La numerazione dei vari articoli, o numeri, è la stessa nella Einleitung come nell’originale.

In questa ristampa abbiam profittato di un esemplare dell’ Introduzione [esemplare che citeremo con (A)], sul quale il Cremona aveva scritto a mano parecchie addizioni o varianti. Le aggiunte, che così si sono introdotte, quando non sia detto espressamente, si riconoscono (come già fu avvertito nella Prefazione) dall’essere racchiuse fra < >. Nell’ultima pagina della Memoria originale, dopo un’ «errata-corrige» (di cui il Cremona dice che è dovuto alla cortesia del suo egregio amico E. Beltramo, stavano pure due brevi aggiunte. La 1.^a di queste è la citazione del Battaglini in nota al § 7. La 2.a sarà qui messa in nota al § 49, ed è data dall’Autore come relativa a quel numero e al § 21.

[41] Pag. 325. Anche nel seguito la parola «stella» è sempre usata nel senso di «fascio di rette», a differenza del significato che ora le si dà comunemente.

[42] Pag. 325. Questa definizione è insufficiente per gli scopi a cui poi la si applica. Occorrerebbe aggiungere, ad esempio, la condizione dell’algebricità della relazione (Cfr. C. F. Geiser, Sopra un teorema fondamentale della Geometria. Annali di matematica, 2.^a serie, vol. 4, 1870-71, pag. 25-30). Così in seguito (nn. 8, 36, 46, ecc.) accade ripetutamente che dalla sola biunivocità di una corrispondenza si conchiuda che questa è rappresentabile con un’equazione bilineare.

[43] Pag. 335. In un esemplare dell’edizione tedesca (Einleitung), sul quale l’A. fece segni in margine, probabilmente per servirsene in una ristampa, tutto il seguito di questo § 19 è segnato come cosa da sopprimere.

[44] Pag. 336. V. la fine di [40] e la nota a pie’ di pagina al § 49.

[45] Pag. 342. Cfr. la nota alla fine del § 23.

[46] Pag. 347. Qui, in nota ad (A), l’Autore scriveva: «A questa dimostrazione si sostituisca una delle due date da Chasles, fondate sul principio di corrispondenza (Comptes rendus, 30 sept. 1872, 20 janv. 1873).»

[47] Pag. 347. Le parole seguenti non s’intendano nel senso che, solo allora il numero delle intersezioni riunite in $a$ possa divenir più grande. — L’esempio addotto, due righe dopo, è errato. Il punto $a$ non equivarrebbe ad $r(r'+1)$ intersezioni, ma in generale solo a $r' (r+1) +1$. Il sistema di $r$ curve $K$ di second’ordine ..., che poi si assume, dà luogo ad una particolarità (due punti $r$— pli successivi) maggiore di quella del detto esempio.

[48] Pag. 349. Qui, e nel seguito, si deve sempre sottintendere che le serie di curve di cui si parla, e così le condizioni a cui le curve si assoggettano, siano algebriche.

[49] Pag. 349. A questo punto, nella traduzione tedesca, è aggiunto quanto segue:

«In einer Reihe von Curven $n$-ter Ordnung kann man jede einzelne als von dem Werte einer bestimmten variablen Grösse abhängig betrachten, wie etwa, um ein Beispiel anzuführen, von dem Producte der anharmonischen Verhältnisse $(abcx_1). (abcx_2)\dots(abcx_n)$, worin $a,\, b,\, c$ drei gegebene Puncte in gerader Linie bedeuten, und $x_1,\, x_2, \, x_3, \dots, x_n$ die Puncte sind, in denen diese Gerade die Curve schneidet. Dieser Grösse, deren verschiedene Werte zur Bestimmung der verschiedenen Curven ein und derselben Reihe dienen, pflegt man den Namen Parameter zu geben. Hängt die Curve von irrationalen Functionen des Parameters ab, so werden die verschiedenen Werte dieser Functionen, es seien $r$, ebenso viele Curven bestimmen, welche alle ein und demselben Werte des Parameters entsprechen. Die Gruppe dieser $r$ Curven kann als ein Ort der $r.n$-ten Ordnung betrachtet werden, und die gegebene Reihe als eine solche von der $r.n$-ten Ordnung, in welcher jeder Wert des Parameters nur eine einzige Curve individualisiert. Eine solche Reihe kann man zusammengesetzt nennen mit Rücksicht auf die Curven $n$-ter Ordnung, und einfach in Bezug auf die Gruppen oder Curven der $r.n$-ten Ordnung. Daher ist klar, dass der Fall einer zusammengesetzten Reihe, aus diesem Gesichtspuncte aufgefasst, auf den der einfachen Reihen zurückgeführt werden kann. Wir werden im Folgenden daher nur von letzteren reden, gleichgültig ob die Elemente derselben einfache Curven oder Gruppen von Curven sind.»

(Einleitung, Art. 7)

[50] Pag. 354. La citazione «pag. 291» riguarda una dimostrazione di Carnot, che non ha alcun fondamento. Vale invece la dimostrazione contenuta nell’altro passo citato (n. 378).

[51] Pag. 358. Qui, in margine ad (A), sono aggiunte le parole: «se sono in numero $\infty^1$». Accade in questo, come in altri luoghi della presente Memoria, che la locuzione «punti dati, o presi, ad arbitrio» vada intesa nel senso di «punti generici», cioè «escluse talune posizioni eccezionali».

[52] Pag. 359. Questo fatto non si può asserire senza riserve: perchè gli $\tfrac{n(n+3)}{2}-1$ punti, essendo stati presi sulle due curve date, di ordini $p,\, q$, non sono «punti presi ad arbitrio» nel senso della proposizione del n. 41 qui invocata. Effettivamente il teorema di Plücker, a cui poi si giunge, esigerebbe qualche restrizione (cfr. nota seguente); e così pure i corollari che se ne traggono in questo n. 43 e nel n. 44.

[53] Pag. 360. Qui, in (A), si aggiunge: «se in numero $\infty^1$». Cfr. le due note precedenti.

[54] Pag. 360. Anche qui occorrono restrizioni. La dimostrazione che segue esige, fra altro, che sia $n< m +p$: se no, non si posson prendere (n. 42) su $C_p$ gli $\tfrac{(n-m)(n-m+3)}{2}$ punti per descrivere $C_{n-m}$ (irriducibile). Così per $n=3$, $m = 2$, $p = 1$ il teorema non vale. — È vera però, senza riserve, la proposizione così modificata (che occorre nel seguito): Date due curve $C_m,\, C_p$ che si taglino in $mp$ punti, se per questi passa una $C_n$, ove $n>p$, essa taglia ulteriormente $C_m$ in $m(n-p)$ punti situati sopra una curva d’ordine $n-p$.

[55] Pag. 361. Questo teorema vale solo (come già diceva il Cayley) colla condizione $n\leq m+p - 3$. Anzi, esso va modificato così: fra le $mp$ intersezioni di due curve d’ordini $m,\, p$ se ne posson trovare $mp-\tfrac{(m+p-n -1)(m+p-n-2)}{2}$ tali che qualunque curva d ordine $n\leq m+p - 3$ descritta per essi passa anche ecc. ecc.

[56] Pag. 364. Per poter conchiudere che si ha un’involuzione non basterebbe quel carattere: occorrerebbe anche invocare, per esempio, l’algébricità. Cfr. nota [42].

[57] Pag. 366. Si aggiunga all’una o l’altra ipotesi anche il caso $s=s'$.

[58] Pag. 366. La determinazione delle due tangenti in $o$ a $C_{n+n'}$ è fatta nel 1.° articolo (n. 4) della Memoria n. 53 « Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane».

[59] Pag. 367. La dimostrazione di questo fatto viene, nel seguito, scomposta in due parti (nn. 54 e 55).
Nel n. 54 si fa vedere che, se una $C_{n+n'}$ contiene $n^2$ punti formanti la base d’un fascio d’ordine $n$, essa può esser generata con due fasci projettivi degli ordini $n$, $n'$. Ciò è vero; ma il ragionamento si serve ripetutamente, per curve d’ordine $n+n'$ del teorema del n. 41 (al quale si riferiva la nota [51]), in casi che si prestano a riserve simili a quelle che abbiam fatto in [52].
Quanto all’esistenza su ogni $C_{n+n'}$ di gruppi di $n^2$ punti base per fasci d’ordine $n$, essa è poi provata nel n. 55, ma con solo conto di costanti: metodo che, in problemi di questa natura, non serve.
Ciò nondimeno il fatto essenziale è esatto. Cfr. C. Küpper, Projective Erzeugung der Curven m-ter Ordnung (Mathematische Annalen, t. 48, 1897, pag. 401).

[60] Pag. 368. Qui, in (A) sta scritto: «perchè, essendo $n>n'$, due curve d'ordine $n'$ non potrebbero avere $nn' (>{n'}^2)$ punti comuni».

[61] Pag. 370. <I due numeri coincidono per $n = n'+1$ e per $n=n'+2$; dunque possiamo prendere l'uno o l'altro, secondo che $n > n'$, oppure $n \leq n'$. Nel 2.° caso, aggiungendo ai $3n-2$ punti, che si possono prendere ad arbitrio nella base del 1.° fascio, gli $\tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}$ punti che (54, a) sono arbitrari nella base del 2°, si ha ancora il numero $\tfrac{(n'-n)^2+3(n'+n) -2}{2}$. Dunque è questo, in ogni caso, il numero dei punti che si possono prendere ad arbitrio per costituire le due basi.>
Grazie a quest'aggiunta [di (A)] il Cremona poteva, nel successivo n. 56, dopo il primo calcolo che conduce al numero $nn'-1$ (quello fatto per $n>n'+2$: ipotesi che ora vi si può sopprimere), indicare [ancora in (A)] come da cancellare i periodi seguenti, passandosi subito alla conclusione di quel n. 56.

[62] Pag. 377. Qui, in (A), l’Autore segnava il problema: «Date 5 intersezioni di una cubica e di una conica, trovare la 6.^a»; e citava: Poncelet, Applications d'analyse et de géométrie, tome 2, pag. 109.

[63] Pag. 380. Si è corretto «polare (s)^ma», in «polare d'ordine $s$».

[64] Pag. 380. Si sostituisca questo ragionamento insufficiente con quello contenuto nei nn. 5-7 della Memoria 53, gia citata in nota [58].

[65] Pag. 382. Applicando il n. 20, ossia la parte (a) dell’attuale n. 73, che il Cremona contava (in una nuova edizione) di anticipare, ponendola subito dopo il n. 68.

[66] Pag. 382. Il ragionamento precedente, fra < >, riportato da (A) (ove l’Autore l’aveva inserito per riempire una lacuna della Memoria originale), ha anche assegnato, alla fine, le tangenti nel punto $(r-s)$^plo a quella polare $(s)$^ma, anticipando così la proposizione che, per $s=1$, si troverà in principio del n. 74.

Pag. 384. <Piu generalmente: il punto, in cui la retta polare di $o$ rispetto ad $r$ delle $n$ rette incontra la retta polare relativa alle altre $n-r$, giace nella retta polare di $o$ rispetto alle $n$ rette. Beltrami, Intorno alle coniche dei nove punti ecc., [1863. V. Opere matematiche di E. Beltrami, t. I, p. 45].>

[68] Pag. 388. Nell’originale, invece di questo numero, stava scritto $(n-1)-(r-1)-(s-1)$; e quindi nella riga seguente stava $n-(r+s-1)$. La correzione è stata indicata dallo stesso Cremona nell’elenco dei «Druckfehler» alla fine della Einleitung, e nel § 2.6 della Rivista bibliografica: Sulla teoria delle coniche (Queste Opere, n. 52). — Pare che in una nuova edizione l’Autore avrebbe soppressa questa parte (c) del n. 81.

[69] Pag. 388. Qui vale quella stessa osservazione che, pel n. 7, s’è fatta nella nota [42]. Bisogna aggiungere, ad esempio, la condizione che la legge data sia algebrica.

[70] Pag. 389. Nella traduzione tedesca (Einleitung, pag. 117), è detto invece che quel luogo è «im Allgemeinen höchstens von der $(Mn+Nm)$—ten Ordnung». E subito dopo è aggiunto:

Wir sagen «Im Allgemeinen höchstens» weil verschiedene Umstände die Ordnung der resultierenden Curve erniedrigen können. Z. B., wenn die beiden Reihen singulare correspondierende Elementepaare enthalten. Die Grösse $Mn+Nm$ muss man also vielmehr als eine obere Grenze betrachten, wie als eine absolute Zahl. Im Folgenden Nr. 111 bis werden wir hierzu in der Theorie der Kegelschnitte bemerkenswerte Beispiele betrachten.

(Il n. 111 bis accennato è dato, per la parte a cui qui si allude, nella Memoria 47 di queste Opere). Vi è inoltre, a questo punto della Einleitung, la citazione a pie di pagina:

«Man sehe auch einen Brief Jonquieres' an den Verfasser im Giornale di Matematiche ad uso etc., Napoli 1863 [t.1.], p. 128, sowie Bemerkungen über Curvenreihen von beliebigem Index von G. Battaglini (Grunerts Archiv t. 41, Heft 1, S. 26) [= Sulle serie di curve d'indice qualunque, Rendiconti Accademia delle scienze di Napoli, t. 2, 1863, p. 149].»

La stessa modificazione (ripudiata poi, come diremo subito, dal Cremona), consistente nell'aggiunta delle parole «im Allgemeinen hoechstens», è fatta nella Einleitung, a quegli enunciati dei successivi nn. 85, 86, 87, che assegnano numeri (specialmente ordini di luoghi) relativi a serie di curve d'indice $N$. — Questi cambiamenti son rilevati in modo particolare nella prefazione di M. Curtze alla Einleitung.

La lettera del De Jonquières, a cui si riferisce la citazione a pie di pagina testé riportata, è data nel Giornale, sotto il titolo «Corrispondenza», preceduta dalle parole: «Il Prof. Cremona ci prega di pubblicare la seguente lettera, a lui diretta dal chiarissimo sig. de Jonquières». In essa questo geometra dice che i teoremi sui sistemi di curve d'indice $N$ da lui publicati nella Memoria del 1861 (citata in questa Introduzione, n. 34, ecc.) «Théorèmes généraux etc.» sono enunciati in termini troppo assoluti, danno solo dei limiti superiori per i numeri di cui si tratta. «Il faut donc ajouter à la plupart de ces théorèmes ces mots: en general et au plus». — Alla lettera il Cremona fa seguire questa sua avvertenza:

Non potendo ora occuparmi dell'argomento, colla pubblicazione di questa lettera dell'esimio geometra francese, intendo anche di mettere in guardia i giovani lettori della mia Introduzione contro le magagne dei teoremi che concernono le serie di curve d'indice qualsivoglia. (Bologna, 16 aprile 1863).

Com'è esposto più diffusamente nell'articolo di C. Segre, Intorno alla storia del principio di corrispondenza e dei sistemi di curve (Bibliotheca mathematica, 2.^a serie, t. 6, 1892, pag. 33), i dubbi del De Jonquières, accolti provvisoriamente dal Cremona, erano derivati da qualche osservazione fatta a quello scienziato dallo Chasles; e dipendevano da ciò che il metodo di dimostrazione del De Jonquières (adottato pure dal Cremona in questo n. 83 e nel seguito), ossia l'uso del principio di corrispondenza (come poi fu chiamato dallo Chasles), era basato sulla considerazione del grado di un'equazione, (così, nel teorema generale del n. 83 da cui abbiam preso le mosse, si aveva un'equazione del grado $Mn+Nm$); e Chasles obiettava che quel grado potrebbe abbassarsi. — Ma presto Cremona riesciva a togliere quest'obiezione, ed a ridare con ciò il loro primitivo valore ai teoremi sui sistemi di curve. In una lettera al De Jonquières, datata «Bologne, 29 Janvier 1864», (che fu poi parzialmente publicata a p. 14-16 di un opuscolo litografato «Documents relatifs à une revendication de priorité et Réponse à quelques critiques nouvelles de M. Chasles, par M. E. De Jonquières, Paris le 4 Février 1867»), egli così si esprimeva:

... Je vous serai fort obligé d'avoir la patience de lire ces lignes, et de me communiquer votre sentiment à ce propos.

Pardonnez-moi si j'ose prendre, devant vous, la défense de vos théorèmes, mais je ne cherche qu'à être convaincu et à séparer la vérité de l'erreur. Si l'objection contenue dans votre dernière lettre est la seule qu'on puisse élever contre vos théorèmes, je ne vois pas pourquoi l'on doute de leur exactitude ou de la solidité de leur démonstration.

[Qui De Jonquières avverte: « Il rappelle ensuite les éléments de la question, où il s'agit de prouver que les courbes correspondantes de deux séries projectives de degré $m$, $n$ et d'indices $M$, $N$ se coupent sur une courbe de degré $mN+nM$, et il ajoute: »]

Si l'on cherche l'ordre du lieu par la méthode dont vous et moi nous avons fait usage, il me parait évident que le terme $Kx^{Nm}. y^{Mn}$ ne pourra pas manquer, en général. S'il manquait, il faudrait supposer qu' à $x = \infty$ corresponde [une ou] plusieurs fois $y = \infty$, et par conséquent ou la droite à l'infini ferait partie du lieu, ou la transversale sur laquelle on considère les points $x$ et $y$ rencontrerait le lieu à l'infini: deux hypothèses également inadmissibles en général...

Certainement rien n'empêche de regarder le nombre obtenu comme une limite supérieure; mais je ne vois pas qu'il soit inexact, de l'énoncer même comme un nombre absolu. C'est ce qui arrive dans presque toutes les questions de géométrie où il s'agit de l'ordre ou de la classe d'une courbe ou d'une surface, y compris le cas des faisceaux ou des séries de droites ...

Je vous prie vivement d'accueillir avec indulgence ces idées et de les combattre si elles ne vous semblent pas justes. J' aspire uniquement à être convaincu de mon erreur. Je vous prie de me dire si vous et M. Chasles avez d'autres raisons pour douter de la rigueur de ces démonstrations, et principalement de me dire pourquoi notre grand maître, M. Chasles, doute absolument de l'exactitude des théorèmes dont il s'agit. Je suis dans la plus grande perplexité; je doute de moi-même; je me confie en vous pour être rassuré ou détrompé ...

Priez M. Chasles d'agréer mes civilités, et engagez-le à pousser l'impression de ses coniques, et à publier ses autres mémoires sur la théorie générale des courbes, dont vous m'avez inspiré la plus grande curiosité.

Il De Jonquières accolse le idee del Cremona, e nel Journal de mathém., 2.^e sèrie, t. 10 (1865) p. 412, ritirò le restrizioni che « dans un moment de precipitation » aveva creduto di dover aggiungere alla sua Memoria del 1861.

[71] Pag. 390. Qui l'A. segnò in margine: «Questo teorema si concluda meglio dal n. 23 e dal 49».

[72] Pag. 391. Questo ragionamento è imperfetto. Conviene, per ciò che occorre poi, modificarlo nel modo seguente:

Le prime polari rispetto a $C_n$ dei punti di una retta $A$ passante per $d$ hanno in $d$ per tangente comune la retta $A'$ armonica di $A$ rispetto alle due tangenti $T$, $U$ di $C_n$ in $d$ (73); sicché il punto successivo a $d$ su $A'$ ha come retta polare $A$.

Si prenda ora come retta $A$ successivamente ciascuna delle $M$ tangenti in $d$ alle $M$ curve $C_m$ della data serie, le quali passano per $d$. Costruendo le $M$ rette armoniche di queste tangenti rispetto alla coppia $TU$, avremo $M$ direzioni secondo cui il luogo $K$ passa per $d$.

$K$ passa dunque per $d$ con $M$ rami, corrispondentemente alle $M$ curve $C_m$ passanti per $d$. Se $T$ e $U$ coincidono, per essere $d$ punto stazionario di $C_n$, coincideranno in $T$ anche le $M$ armoniche ora nominate, ossia le $M$ tangenti in $d$ a $K$.

[73] Pag. 391. La proposizione del n. 32, che qui s'invoca, non era esatta, come abbiam rilevato nella nota [47]. Tuttavia il risultato a cui ora si giunge è vero. Infatti (v. la fine dell'ultima nota) $K$ passa pel punto stazionario $d$ di $C_n$ con $M$ rami (completi), aventi tutti per tangente la tangente $T$ di $C_n$: laonde in $d$ saranno riunite appunto $3M$ intersezioni di $K$ e $C_n$.

[74] Pag. 393. Proposizioni più generali che quelle di questo n. 88, intorno all'influenza di particolari punti sul numero complessivo dei punti doppi delle curve di un fascio, si troveranno nei nn. 8-12 della Memoria 53.

[75] Pag. 396. In un foglietto manoscritto del Cremona è detto di modificare la parte che segue nel testo, così:

(b) Se i due fasci sono dello stesso ordine m, e se hanno una curva comune, questa farà parte dell'inviluppo dianzi ottenuto. Togliendo la curva comune, la quale, supposta priva di punti multipli, sarà della classe $m (m-1)$, rimane una curva della classe $4m^2-4m - m (m-1)= 3m(m-1)$; cioè:

Le tangenti comuni nei punti ove si toccano le curve di due fasci d'ordirle $m$, aventi una curva comune, inviluppano una linea della classe $3m(m-1)$.

(c) L'ipotesi precedente si verifica nel caso che i due fasci siano formati da prime polari relative ad una data curva fondamentale d'ordine $n$, onde $m = n-1$. Allora:

Le tangenti comuni nel punti di contatto ecc. ecc. [come nel testo].

[76] Pag. 397. Questa proposizione fondamentale non deriva così immediatamente dalla definizione data della rete.

In un foglietto manoscritto il Cremona ha indicato di sostituire alla parte del n. 92 che giunge fino a questo punto la trattazione seguente:

Abbiamo veduto [n. 41] che, se $U_1=0$, $U_2=0$ sono le equazioni di due curve dello stesso ordine $n$, l'equazione $\lambda_1U_1 + \lambda_2U_2=0$ rappresenta un sistema semplicemente infinito ($\infty^1$) di curve dello stesso ordine $n$, individuate dagli $\infty^1$ valori del rapporto o parametro $\lambda_1 : \lambda_2$. A questo sistema, caratterizzato dalla proprietà che per un punto arbitrario del piano passa una ed una sola curva, si è dato il nome di fascio. Siccome i valori del rapporto $\lambda_1 : \lambda_2$ si possono rappresentare coi punti di una retta (punteggiata) o coi raggi di un fascio, così le curve del fascio $\lambda_1U_1 + \lambda_2U_2=0$ si possono riferire univocamente agli elementi di una retta punteggiata o di un fascio di raggi (assumendo ad arbitrio tre coppie di elementi corrispondenti).

Analogamente, se $U_1 = 0$, $U_2=0$, $U_3 = 0$ sono le equazioni di tre curve d'ordine $n$ non appartenenti ad uno stesso fascio, ossia linearmente indipendenti, l'equazione $\lambda_1U_1 + \lambda_2U_2 + \lambda_3 U_3=0$ rappresenta un sistema doppiamente infinito ($\infty^2$) di curve d'ordine $n$, determinate dagli $\infty^2$ valori dei due rapporti $\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3$. A questo sistema, che è caratterizzato dalla proprietà che per due punti arbitrari passa una sola curva, ossia che per un punto arbitrario passano $\infty^1$ curve formanti un fascio, si dà il nome di rete. Come i valori dei rapporti $\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3$ si possono rappresentare coi punti (o colle rette) di un piano, così le curve di una rete si possono riferire univocamente ai punti (o alle rette) di un piano. Rappresentando per esempio le curve della rete coi punti del piano, i fasci di curve contenuti nella rete vengono ad essere rappresentati dalle rette del piano stesso. Perciò si vede subito che la rete contiene $\infty^2$ fasci; che due fasci della rete hanno una curva comune; e che una curva è comune a $\infty^1$ fasci [della rete]. Una rete è determinata da tre curve (dello stesso ordine) non appartenenti ad uno stesso fascio, ovvero da due fasci (dello stesso ordine) aventi una curva comune. Tre curve non hanno, in generale, punti comuni; ma se tre curve determinanti una rete hanno punti comuni, essi sono comuni a tutte le curve della rete.

In modo simigliante, l'equazione $\lambda_1U_1 + \lambda_2U_2 + \lambda_3 U_3 + \lambda_4 U_4=0$ rappresenta un sistema triplamente infinito ($\infty^3$) di curve dello stesso ordine, corrispondenti agli $\infty^3$ valori dei tre rapporti $\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 :\lambda_4$, supposto che le quattro curve $U_1=0$, $U_2 = 0$, $U_3 = 0$, $U_4 = 0$ non appartengano ad una stessa rete. In questo sistema tutte le curve che passano per uno stesso punto arbitrario formano una rete; tutte quelle che passano per due punti arbitrari formano un fascio; e per tre punti quali si vogliano passa una sola curva del sistema. I valori dei rapporti $\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 :\lambda_4$ si possono rappresentare coi punti dello spazio a tre dimensioni ; perciò le $\infty^3$ curve del sistema in discorso si possono far corrispondere univocamente ai punti dello spazio. I piani dello spazio rappresentano allora le reti contenute nel sistema; e le rette dello spazio ne rappresentano i fasci. Donde si trae subito che due reti (del sistema) hanno un fascio comune, che tre reti hanno una curva comune, che una rete ed un fascio hanno una curva comune, e che due fasci hanno una curva comune solamente quando sono contenuti in una stessa rete.

Proseguendo si potrebbero considerare sistemi $\infty^4,\, \infty^5 \dots$ di curve d' ordine $n$. In generale un sistema $\infty^r$ è rappresentato da un'equazione $\lambda_1U_1 + \lambda_2U_2 + \lambda_3 U_3 + \lambda_{r+1} U_{r+1}=0$, dove le ... [manca il seguito].

[77] Pag. 397. Questa denominazione l'Autore voleva poi sostituita dovunque con Jacobiana della rete, pur conservando il nome Hessiana per la linea definita in (90, a). (Ciò s'accorda colla designazione: Jacobiana di tre curve, introdotta al n. 93).

[78] Pag. 397. Nell'originale, dopo la citazione (48), era detto: «ed una di queste ha per tangente cuspidale la retta $T$». Invece quella curva del fascio che ha $T$ per una tangente in $a$ non sarà in generale una delle due curve che sono cuspidate in $a$.

L'Autore, in (A), aveva cancellato quella frase ed anche la successiva, con cui finisce questo n. 92.

[79] Pag. 401. Esistono alcuni fogli manoscritti del Cremona in cui si ricerca la moltiplicità della Jacobiana di tre curve, in punti che presentano altri casi particolari. Sono però abbozzi, che non occorre publicare. Riproduciamo invece una parte di ciò che è scritto, in (A), accanto a questo n. 96:

«Quando o sia un punto $(r)$^plo per le tre curve $C,\, C',\, C''$, la curva $K'$ corrispondente ad una retta $L$ ha in $o$ un punto $(2r-1)$^plo, ed ivi ha per tangenti $L$ ed i $2(r -1)$ raggi doppi dell'involuzione determinata dai due gruppi di tangenti in $O$ alle curve $C,\, C'$ (in virtù del n. 51). Analogamente per $K''$; quindi, siccome tutte le curve $K',\, K''$ hanno in $o$ un punto $(2r-1)$^plo, ed inoltre due curve corrispondenti $K',\, K''$ hanno sempre una tangente comune $L$, così $o$ sarà un punto $(2(2r -1) + 1)$^plo per la curva complessiva generata dai fasci delle $K',\, K''$. Ma di questa fa parte la 1^a polare di $o$ rispetto a $C$, che ha in $o$ un punto $(r)$^plo; dunque la Jacobiana avrà in $o$ un punto multiplo secondo il numero $2(2r- 1) +1 - r = 3r - 1$.

«Se una delle curve della rete, per esempio $C''$, ha in $o$ un punto $(r+1)$^plo, le tangenti di $C''$ sono tutte tangenti anche della Jacobiana. Le altre $2(r - 1)$ tangenti di questa sono i raggi della Jacobiana dei due gruppi di tangenti in $o$ alle curve $C,\, C'$.

«Da ciò segue, nella teoria delle polari, che se la curva fondamentale ha un punto $(r)$^plo la Hessiana ha ivi un punto $(3r -4)$^plo; le due curve hanno [in esso] $r$ tangenti comuni; perciò quel punto assorbe $3r (r - 1)$ intersezioni.»

Seguono altre considerazioni (incomplete) dirette a provare che in generale un punto $(r)$^plo con $s$ tangenti riunite produce sul numero dei flessi, come (n. 74) sulla classe, la stessa diminuzione che produrrebbero $\tfrac{r(r-1)}{2}-(s-1)$ nodi ed $s - 1$ cuspidi.

[80] Pag. 401. Se non si aggiunge al testo originale la condizione che qui s'è messa fra [ ], la frase che vien dopo va modificata così: «la curva Hessiana della rete ha tre rami passanti per $o$, uno dei quali è ivi tangente alla retta $T$ e gli altri due sono toccati dalle due curve della rete che hanno una cuspide in $o$». Questa modificazione appunto si trova in (A). — Cfr. la nota [78].

[81] Pag. 402. Cfr. la nota **) a pie di pag. 394.

[82] Pag. 404. Quest' osservazione, fra [ ], non stava nell' originale ; ma è necessaria per poter poi applicare il n. (97, d).

[83] Pag. 406. Qui l'A. continua, in margine ad (A) (cfr. la nota seguente):

Ne segue che il numero delle curve di una rete d'ordine $n - 1$, che toccano due curve i cui ordini siano $m,\, m'$, e le classi $M,\, M'$, è

$4(n-2)^2mm'+2(n - 2)(mM'+ m' M) + M M'$.

[84] Pag. 406. In margine a queste due righe, l'Autore ha scritto a matita: no. Certamente l'asserzione contenuta nel testo è eccessiva, poiché una rete qualsivoglia di curve non è in generale un sistema di prime polari. Ma finché si tratta di problemi numerativi, determinati, su reti di curve, la sostituzione di queste con reti di prime polari si può riguardare come un' applicazione del principio della conservazione del numero. Essa è fatta, non solo qui in (103b), ma anche nel seguito, come nei n. 119, 120, 121. — Cfr. la giustificazione, che poi ne è data al n. 17 della Memoria 53.

[85] Pag. 411. < I punti comuni alle due curve d'ordine $m$ ed $mn(n - 2)$ sono le $3m(n-2)$ intersezioni della prima curva coll'Hessiana [di $C_n$], ed i punti [le coppie di punti distinti] di quella stessa prima curva che sono poli delle tangenti doppie della curva $K$ (103).>

[86] Pag. 415. Qui, nella Einleitung, è posta a pie di pag. la nota seguente:

Fallen die Puncte $a,\, b,\, c,\, d$ paarweise zusammen, das heiszt, berühren sich die Kegelschnitte des Büschels in zwei Puncten $a$ und $c$, so reducieren sich die beiden Paare von Gegenseiten des Vierecks auf die Berührungssehne $ac$, als das System zweier zusammenfallender Geraden betrachtet. Das dritte Paar Gegenseiten wird durch die den beiden gegebenen Kegelschnitten gemeinschaftlichen Tangenten gebildet. Folglich bestimmen, wenn ein Kegelschnitt und zwei seiner Tangenten von einer Transversale geschnitten werden, die vier Durchschnittspuncte eine quadratische Involution, deren einer Doppelpunct auf der Berührungssehne liegt.

[87] Pag. 418. Nella Einleitung è stata qui inserita, come n. 111bis (a pag. 167-175), la traduzione, con poche varianti, dei due articoli « Stilla teoria delle coniche» che si troveranno nel seguito di queste Opere, come n. 47, 48.

[88] Pag. 422. Quest'asserzione non è esatta (la deduzione non regge, perchè la corrispondenza fra $p$ e $b$ non è univoca in ambi i sensi) ; e cosi pure l'analoga che vien subito dopo, sugli $n-2$ punti $a$ corrispondenti a uno stesso $b$. Si può dire invece che: quando un punto varia su $R$, e lo si prende successivamente, o come punto $a$, o come $b$, i gruppi dei suoi corrispondenti ($n-1$, od $n - 2$) punti $p$ descrivono due involuzioni dei gradi $n -1$, $n-2$, le quali risultano riferite proiettivamente (alla punteggiata descritta dal punto variabile, e quindi anche) fra loro. A queste involuzioni proiettive il lettore riferisca la fine della nota (che occorre poi in (b)).

[89] Pag. 424. In ognuno dei punti $p$ dell'Hessiana che qui si son considerati, il luogo geometrico di cui si tratta avrà un punto $r$-plo. Perciò invece che contatto $r$-punto si deve leggere: incontro $r$-punto.

Per analoghe ragioni va fatta la stessa sostituzione della parola «incontro» alla parola «contatto» le altre volte che questa s'incontra nel seguito di questo numero, in (a) e in (b).

[90] Pag. 435. Quest'argomentazione non regge, e il risultato a cui si giunge va corretto. Si osservi che, quando una curva si può riguardare come l'inviluppo di una serie $\infty^1$ d'indice 2 di curve, i suoi punti doppi sono (soltanto): 1.° ogni punto che sia comune a tutte le curve di quella serie, 2.° ogni punto dell'inviluppo che sia doppio per l'unica curva della serie che vi passa. Applicando ciò alla serie delle seconde polari dei punti di una retta $R$, otteniamo (se $n>3$) due casi in cui la seconda polare (pura) di $R$ ha un punto doppio $p$: 1.°) $p$ è comune a tutte le seconde polari dei punti di $R$, ossia $R$ fa parte della conica polare di $p$: è il solo caso che sia considerato nel testo. 2.°) (per $n > 3$) $p$ è punto doppio per la seconda polare di un punto $o$ (anzi che per una prima polare, come nel 1.° caso), ossia (n. 78) $p$ è un punto la cui cubica polare (anzi che conica polare) ha un punto doppio $o$. Presa allora come retta $R$ la tangente in $o$ alla conica polare di $p$, la seconda polare (pura) di $R$ avrà in $p$ un punto doppio. Così anche nel 2.° caso si ottengono, come nel 1.°, infinite rette $R$ e infiniti punti $p$.

[91] Pag. 437. Una dimostrazione più rigorosa di questo teorema si troverà nel seguito, al n. 149 (c).

[92] Pag. 446. A questo punto, nella Einleitung, pag. 225-226, è inserito, prima di (b), un breve (a bis), tolto dal § 4 della Memoria 49 (Considerazioni sulle curve piane del 3.° ordine...) di queste Opere, o dal n. 26 dell'altra Memoria 53, già più volte citata.

Lo stesso dicasi poi: per l'aggiunta di un 139 e) che si trova nella Einleitung a pag. 227; per un'altra breve aggiunta a pag. 234, alla fine del n. 142; e finalmente per quella al n. 148 che è proposta al termine dell'Errata della Einleitung.

[93] Pag. 459. Nella Einleitung, dopo questa citazione, segue (nella stessa nota a piè di pagina) un quadro degli otto sistemi di quattro rette, che si trovava già in Hesse, loc. cit. (= Ges. Werke, p. 166).

[94] Pag. 459. Sopprimiamo, d'accordo con (A), un'asserzione non esatta relativa a quel punto di concorso.

[95] Pag. 460. Così in $c_0$ concorrono [01][10], [02][20], [03][30], [23][32] , [31][13] , [12][21].

[96] Pag. 460. Per quel punto $c_0$ (centro di projettività) passa anche la retta che unisce le intersezioni di $(\alpha b_0, \beta b_0), (\alpha a_0, \beta a_0)$. <Di qui segue che le rette $\alpha b_0, \beta a_0$ sono corrispondenti, e però il loro punto comune appartiene alla conica $\alpha \beta$ [00] [11] [22] [33]. Dunque i punti $a_0$, $b_0$ sono coniugati rispetto a questa conica, e le loro polari s'incrociano in un punto della retta $\alpha \beta$ allineato con [00] e col punto comune alle $\alpha b_0$, $\beta a_0$. Analogamente per $a_1$, $b_1$; ecc.>

[97] Pag. 461. <Le tangenti alla conica $\alpha \beta$ [00] [11] [22] [33] nei punti [00], [11], [22], [33] sono anche tangenti alla conica polare di $c_0$, ed i punti di contatto sono situati rispettivamente nelle rette $a_0b_0,\, a_1b_1, \, a_2b_2, \, a_3b_3$ (S. Roberts, p. 120). >

[98] Pag. 462. <Similmente: in ciascuno dei 3 sistemi di coniche tritangenti alla cubica vi sono otto coniche che passano per un punto dato e toccano una retta data, e ve ne sono sedici che toccano due rette date.>