Pagina:Del vaglio d'Eratostene.djvu/11

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loro multipli. Questi multipli poi si seguono, in questa serie, a distanze regolari; e così si ha il modo di distinguerli facilmente e di levarli via. Ed in vero fra il 3 ed il suo primiero multiplo 9, si trovano due numeri non multipli di 3. Fra 9 e il prossimo multiplo di 3, cioè il 15, altri due se ne incontrano non multipli di esso 3. E di nuovo fra il 15 e l’altro prossimo multiplo di 3, che è 21, cadono altri due numeri non multipli di 3, e così via discorrendo. Ancora fra 5 e il prossimo suo multiplo 15, stanno quattro numeri non multipli di 5: e così altri quattro si trovano fra 15 e 25 che è il successivo multiplo di 5, e così seguitando. Parimente fra ogni pajo di multipli del 7, come si trovano nell’ordine loro naturale in questa serie, si frappongono sei numeri che non sono multipli di 7. Ed universalmente fra ogni due multipli di un qualunque numero n, come essi stanno nell’ordine loro naturale nella serie, si trovano n-1 numeri che non sono multipli di n.

Di qui si deriva l’operazione. I termini tutti che seguono il 3 si contano a tre a tre ed ogni terzo numero si cancella; così rimangono cancellati tutti i multipli di 3. Il primo numero susseguente al tre, che non sia cancellato, è 5. Si cancelli il quadrato di 5; e dopo questo contando per cinque tutti i termini seguenti, si cancelli ogni quinto numero, se non fosse già stato cancellato prima fra i multipli del 3. E così saranno cassati tutti i multipli di 5. Parimente si cancella il quadrato di 7, e contando a sei a sei i numeri che gli vengon dopo, si cancella ogni settimo numero, che non fosse stato cancellato nelle precedenti cancellazioni..... E così si continua fino a che il primo numero non cancellato che ci si presenta dopo quello i cui multipli sono stati cancellati immediatamente prima, sia tale che il suo quadrato superi l’ultimo e maggior numero al quale sia estesa la serie. I numeri che rimangono non cancellati sono tutti i numeri primi, eccetto il 2, che si presentano