Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/336

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retta, esiste in questa un solo e determinato punto d', tale che sia:

(a'b'c'd') = (abed).


Ciò riesce evidente, osservando che il segmento a'b' dev'esser diviso dal punto d' in modo che si abbia:

\frac{a'd'}{d'b'}=\left( \frac{ad}{db}:\frac{ac}{cb} \right)\frac{a'c'}{c'b'}.


Donde segue che, se i punti aa' coincidono (fig. 2.a), le rette bb',\, cc',\, dd' concorreranno in uno stesso punto o.

Fig. 2

Analogamente: dati due fasci di quattro rette ABCD,\,  A'B'C'D', i centri de'quali siano o,\, o' ed i rapporti anarmonici

\sin (ABCD), \,\, \sin (A'B'C'D')


siano eguali, se i raggi AA' coincidono in una retta unica (passante per o e per o'), i tre punti BB', \, CC', \, DD', sono in linea retta.

Fig. 3

Dati quattro punti a, \, b,\, e,\, d in una retta ed altri quattro punti a',\, b',\, c',\, d' in una seconda retta (fig. 3.a), se i rapporti anarmonici (abcd), \, (a'b'c'd') sono eguali, anche i due fasci di quattro rette a(a'b'c'd'),\, a'(abcd) avranno eguali rapporti anarmonici (§ 2). Ma in questi due fasci i raggi corrispondenti aa',\, a'a coincidono; dunque i tre punti