Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/337

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(ab',\, a'b), (ac',\, a'e), (ad', \, a'd) sono in linea retta. Questa proprietà offre una semplice regola per costruire il punto d', quando siano dati abcd, \, a'b'c'.

Ed in modo somigliante si risolve l'analogo problema rispetto a due fasci di quattro rette.

4. Quattro punti a,\, b,\, c,\, d in linea retta diconsi armonici quando sia:

(abcd) =- 1,


epperò anche:

(badc) = (cdab) = (dcba) = (abdc) = (bacd) = (cdba) = (dcab) = - 1.


I punti a,\, b e così pure c,\, d diconsi coniugati fra loro[1].

Se il punto d si allontana a distanza infinita, il rapporto \frac{ad}{db} ha per limite  - 1; quindi dall'equazione (abcd) = - 1 si ha \frac{ac}{cb}=1, ossia c è il punto di mezzo del segmento ab.

La relazione armonica (abcd)= - 1, ossia

\frac{ac}{cb} + \frac{ad}{db}=0


mostra che uno de' punti c,\, d, per esempio c, è situato fra a e b, mentre l'altro punto d è fuori del segmento finito ab. Laonde, se a coincide con b, anche c coincide con essi. E dalla stessa relazione segue che, se a coincide con c, anche d coincide con a.

La relazione armonica individua uno de' quattro punti, quando sian dati gli altri tre. Ma se questi sono coincidenti, il quarto riesce indeterminato.

Analogamente: quattro rette A,\, B,\, C,\, D, concorrenti in un punto, diconsi armoniche quando si abbia:

\sin (ABCD)=-1,


cioè quando esse siano incontrate da una trasversale qualunque in quattro punti armonici.

Fig. 4

5. Sia dato (fig. 4.a) un quadrilatero completo, ossia il sistema di quattro rette segantisi

  1. Il punto b dicesi coniugato armonico di a rispetto ai due c,\, d, ecc.