Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/338

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a due a due in sei punti a, \, b, \, c, a', \, b',\, c'. Le tre diagonali aa', \, bb', \, cc' formano un triangolo \alpha\beta\gamma. Sia x il punto coniugato armonico di \beta rispetto a c,\, c' e sia y il coniugato armonico di \gamma rispetto a b,\, b'. La retta coniugata armonica di aa' rispetto alle acb', \, ac'b ed anche la retta coniugata armonica di a'a rispetto alle a'bc,\, a'b'c' dovranno passare per x e per y. Dunque questi punti coincidono insieme con \alpha, punto comune alle bb',\, cc'. Donde segue che ciascuna diagonale è divisa armonicamente dalle altre due.

Di qui una semplice regola per costruire uno de' quattro punti armonici \alpha, \, \gamma, b, b', quando siano dati gli altri tre.

Una somigliante proprietà appartiene al quadrangolo completo (sistema di quattro punti situati a due a due in sei rette) e dà luogo alla costruzione di un fascio armonico di quattro rette.

6. Quattro punti m_1,\, m_2, \, m_3,\,  m_4 in linea retta, riferiti ad un punto o della retta medesima, siano rappresentati dall'equazione di quarto grado:

2)
A.\overline{om}^4 + 4 B.\overline{om}^3 + 6C. \overline{om}^2 + 4 D. \overline{om} +E =0,


cioè siano om_1,\, om_2, \, om_3,\,  om_4 le radici dell'equazione medesima.

Se il rapporto anarmonico (m_1m_2m_3m_4) è eguale a -1, si avrà:

m_1m_3.m_4m_2 + m_2m_3.m_4m_1=0,


ovvero, sostituendo ai segmenti m_1m_3, \dots le differenze om_2-om_3, \dots ed avendo riguardo alle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un'equazione:

A(om_1.om_2 + om_3.om_4)-2C = 0.


Analogamente: le equazioni (m_1m_3m_4m_2) =-1,\, (m_1m_4m_2m_3) = -1 danno:

A(om_1.om_3 + om_4.om_2)-2C = 0,

A(om_1.om_4 + om_2.om_3)-2C = 0.


Moltiplicando fra loro queste tre equazioni si otterrà la condizione necessaria e sufficiente, affinchè uno de' tre sistemi (m_lm_2m_3m_4), (m_1m_3m_4m_2), (m_1m_4m_2m_3) sia armonico. Il risultato è simmetrico rispetto ai segmenti om_1,\, om_2, \, om_3,\,  om_4, epperò si potrà esprimere coi soli coefficienti dell'equazione 2). Si ottiene così:

ACE + 2 BCD - AD^2 -EB^2 -C^3=0


come condizione perchè i punti rappresentati dalla data equazione 2), presi in alcuno degli ordini possibili, formino un sistema armonico[1].

  1. Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra, Dublin 1859, p. 100.