Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/13

Da Wikisource.


Art. II.

Projettività delle punteggiate e delle stelle.


7. Chiameremo punteggiata la serie de’ punti situati in una stessa retta, e fascio di rette o stella [41] la serie delle rette (situate in un piano) passanti per uno stesso punto (centro della stella)[1]. Le punteggiate e le stelle si designeranno col nome comune di forme geometriche. Per elementi di una forma geometrica intendansi i punti o le rette costituenti la punteggiata o la stella che si considera.

Due forme geometriche si diranno proiettive quando fra i loro elementi esista tale relazione, che a ciascun elemento della prima corrisponda un solo e determinato elemento della seconda ed a ciascun elemento di questa corrisponda un solo e determinato elemento della prima [2][42].

Per esempio: se una stella vien segata da una trasversale arbitraria, i punti d’intersezione formano una punteggiata projettiva alla stella.

Dalla precedente definizione segue evidentemente che due forme proiettive ad una terza sono proiettive fra loro.

8. Consideriamo due rette punteggiate. Se i è un punto fisso della prima retta, un punto qualunque m della medesima sarà individuato dal segmento im; ed analogamente, un punto qualunque m' della seconda retta sarà individuato dal segmento j'm', ove j' sia un punto fisso della stessa retta. Se le due punteggiate sono projettive e se m,\, m' sono punti corrispondenti, fra i segmenti im, \,j'm' avrà luogo una relazione, la quale, in virtù della definizione della projettività, non può essere che della forma seguente:

1)
\chi.im.j'm' +\lambda.im +\mu.j'm' +\nu =0,


ove \chi, \, \lambda, \, \mu, \, \nu sono coefficienti costanti. Quest’equazione può essere semplificata, determinando convenientemente le origini i,\, j'. Sia i quel punto della prima punteggiata, il cui corrispondente è all’infinito nella seconda retta: ad im=0 dovrà corrispondere j'm' = \infty, quindi \mu= 0. Così se supponiamo che j' sia quel punto della seconda punteggiata, a cui corrisponde il punto all’ infinito della prima, sarà \lambda = 0. Perciò l’equazione

  1. Bellavitis, Geometria descrittiva, Padova 1851, p. 75.
  2. Chasles, Principe de correspondance entre deux objets variables etc. (Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 décembre 1855). — Battaglini, Sulla dipendenza scambievole delle figure (Memorie della R. Accademia delle scienze, vol. 2, Napoli 1857, p. XXI e p. 188).