Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/340

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1) assume la forma:

2)
im. j'm' = k,

ove k è una costante.

Siano a,\, b,\, c,\, d quattro punti della prima retta; a', \, b', \, c', \, d' i loro corrispondenti nella seconda. Dalla 2) abbiamo:

j'a'=\frac{k}{ia}, \quad j'c'=\frac{k}{ic},

quindi :

a'c'=-\frac{k.ac}{ia.ic}.

Analoghe espressioni si ottengono per c'b', \, a'd',\, d'b', e per conseguenza:

\frac{a'c'}{c'b'}:\frac{a'd'}{d'b'}= \frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db} ,

cioè:

(a'b'c'd') = (abcd).

Abbiansi ora una stella ed una punteggiata, projettive. Segando la stella con una trasversale arbitraria si ha una nuova punteggiata, che è projettiva alla stella, e quindi projettiva anche alla punteggiata data (7). Siano a,\, b,\, c,\, d quattro punti della punteggiata data, A, \, B,\,  C, \, D i corrispondenti raggi della stella ed a', \, b', \, c',\,  d' i punti in cui questi raggi sono incontrati dalla trasversale. Avremo:

(a'b'c'd') = (abcd).

Ma si ha anche (2):

(a'b'c'd') = \sin(ABCD),

dunque:

(abcd) = \sin (ABCD).

Da ultimo, siano date due stelle proiettive: segandole con due trasversali (o anche con una sola) si avranno due punteggiate, rispettivamente projettive alle stelle, epperò projettive fra loro. Siano  A, \, B,\,  C,\,  D quattro raggi della prima stella; A', \, B',\,  C',\, D' i quattro corrispondenti raggi della seconda; a,\, b,\, c,\, d ed a', \, b',\, c', \,d' i quattro punti in cui questi raggi sono incontrati dalle rispettive trasversali. A cagione delle due punteggiate abbiamo:

(a'b'c'd') = (abcd).

Ma si ha inoltre (2):

(a'b'c'd') = \sin (A'B'C'D'),  \quad (abcd) = \sin (ABCD),