Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/16

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Che i punti comuni dovessero essere al più due si poteva prevedere anche da ciò che, se due punteggiate projettive hanno tre punti coincidenti coi rispettivi corrispondenti, esse sono identiche. Infatti, se (abcm) = (abcm'), il punto m' coincide con m.

Se e,\, f sono i punti comuni di due punteggiate projettive sovrapposte, nelle quali aa', \, bb' siano due coppie di punti corrispondenti, si avrà l'eguaglianza de' rapporti anarmonici:

(abef) = (a'b'ef),


che si può scrivere così:

(aa'ef) = (bb'ef),


donde si ricava che il rapporto anarmonico (aa'ef) è costante, qualunque sia la coppia aa'.

10. Siano date due stelle projettive, aventi lo stesso centro. Segandole con una trasversale, otterremo in questa due punteggiate projettive: due punti corrispondenti m,\, m' sono le intersezioni della trasversale con due raggi corrispondenti M,\, M' delle due stelle. Siano e, \, f i punti comuni delle due punteggiate. Siccome i punti e,\, f della prima punteggiata coincidono coi loro corrispondenti e',\, f' della seconda, così anche i raggi E,\, F della prima stella coincideranno rispettivamente coi raggi E',\, F' che ad essi corrispondono nella seconda stella. Dunque, due stelle projettive concentriche hanno due raggi comuni (reali, imaginari o coincidenti), cioè due raggi, ciascun de' quali è il corrispondente di sè stesso.


Art. III.

Teoria de' centri armonici.


11. Sopra una retta siano dati n punti a_1, \, a_2, \dots, a_n ed un polo o. Sia poi m un punto della retta medesima, tale che la somma dei prodotti degli n rapporti \frac{ma}{oa}, presi ad r ad r, sia nulla. Esprimendo questo somma il simbolo \sum \left( \frac{ma}{oa}\right)_r, il punto m sarà determinato per mezzo della equazione:

1)
\sum \left( \frac{ma}{oa}\right)_r=0,


che per l'identità ma = oa - om, può anche scriversi:

2)
\sum \left( \frac{1}{om}-\frac{1}{oa}\right)_r=0,