Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/17

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ossia sviluppando:

3)

\begin{bmatrix}
  n \\
  r \\
\end{bmatrix}\left(\frac{1}{om}\right)^r - 
\begin{bmatrix}
  n-1 \\
  r-1 \\
\end{bmatrix}\left(\frac{1}{om}\right)^{r-1}\sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1 +
+
\begin{bmatrix}
  n-2 \\
  r-2 \\
\end{bmatrix}\left(\frac{1}{om}\right)^{r-2}\sum \left(\frac{1}{oa}\right)_2 - \dots =0;


ove il simbolo 
\begin{bmatrix}
  n \\
  r \\
\end{bmatrix}
esprime il numero delle combinazioni di n cose prese ad r ad r.

L’equazione 3), del grado r rispetto ad om, dà r posizioni pel punto m: tali r punti m_1, \,m_2, \dots, m_r si chiameranno[1] centri armonici, del grado r, del dato sistema di punti a_1, \, a_2, \dots, a_n rispetto al polo o.

Quando r= 1, si ha un solo punto m, che è stato considerato da Poncelet sotto il nome di centro delle medie armoniche[2].

Se inoltre è n = 2, il punto m diviene il coniugato armonico di o rispetto ai due a_1, \, a_2 (4).[3]

12. Se l’equazione 1) si moltiplica per oa_1.a_2\dots oa_n e si divide per ma_1,\, ma_2, \dots, ... ma_n, essa si muta evidentemente in quest’altra:

4)
\sum \left(\frac{oa}{ma}\right)_{n-r}=0,


donde si raccoglie:

Se m è un centro armonico, del grado r, del dato sistema di punti rispetto al polo o, viceversa o è un centro armonico, del grado n - r, del medesimo sistema rispetto al polo m.

13. Essendo m_1, \,m_2, \dots, m_r gli r punti che soddisfanno all’equazione 3), sia \mu il loro centro armonico di primo grado rispetto al polo o avremo l’equazione:

\sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{om} \right)_1=0


analoga alla 2), ossia sviluppando:

\frac{r}{o\mu} = \sum \left(\frac{1}{om}\right)_1.


Ma, in virtù della 3), è:

\sum \left(\frac{1}{om}\right)_1 =\frac{r}{n}\sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1,

  1. Jonquières, Mémoire sur la théorie des pôles et polaires etc. (Journal de M. Liouville, août 1857, p. 266).
  2. Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques (Giornale di Crelle, t. 3, Berlino 1828, p. 229).
  3. <Se n = 1, ossia se il dato sistema riducesi ad un punto unico, con questo coincide il centro armonico di 1.° grado di qualsivoglia polo.>