Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/18

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dunque:

\frac{n}{o\mu} = \sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1,


ossia:

 \sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{oa}\right)_1=0.


Ciò significa che \mu è il centro armonico, di primo grado, del dato sistema di punti a_1,\, a_2, \dots, a_n an rispetto al polo o.

Indicando ora con \mu uno de' due centri armonici, di secondo grado, del sistema m_1, \, m_2, \dots, m_{r} rispetto al polo o, avremo l'equazione analoga alla 2):

 \sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{om}\right)_2=0,


ossia, sviluppando:

 \frac{r(r-1)}{2}  \left(\frac{1}{o\mu} \right)^2 - (r-1)\frac{1}{o\mu}\sum \left(\frac{1}{om} \right)_1 + \sum \left(\frac{1}{om} \right)_2=0,


Ma, in virtù della 3), si ha:

 \sum \left(\frac{1}{om}\right)_1= \frac{r}{n} \sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1, \quad \sum \left(\frac{1}{om}\right)_2= \frac{r(r-1)}{n(n-1)} \sum \left(\frac{1}{oa}\right)_2,


onde sostituendo ne verrà:

 \frac{n(n-1)}{2}  \left(\frac{1}{o\mu} \right)^2 - (n-1)\frac{1}{o\mu}\sum \left(\frac{1}{oa} \right)_1 + \sum \left(\frac{1}{oa} \right)_2=0,


vale a dire:

 \sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{oa}\right)_2=0;


dunque \mu è un centro armonico, di secondo grado, del sistema a_1, \, a_2, \dots, a_n rispetto al polo o.

Lo stesso risultato si ottiene continuando a rappresentare con \mu un centro armonico, del terzo, quarto, ... (r-1)esimo grado, del sistema m_1,\, m_2, \dots, m_r rispetto al polo o. Dunque:

Se m_1, \, m_2, \dots, m_r sonò i centri armonici, di grado r, del dato sistema a_1, \, a_2, \dots, a_n rispetto al polo o, i centri armonici, di grado s (s<r), del sistema m_1, \, m_2, \dots, m_r rispetto al polo o sono anche i centri armonici, del grado s, del sistema dato rispetto allo stesso polo o.