Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/345

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14. Se m è un centro armonico, del grado n - 1, del dato sistema a_1, \, a_2, \dots, a_n rispetto al polo o, si avrà l'equazione 4) nella quale sia posto r=n - 1. Vi s'introduca un arbitrario punto i (della retta data) mediante le note identità oa = oi + ia, ma = ia - im, onde si avrà:

\sum \left(\frac{oi +ia}{ia -im} \right)_1 =0,


ossia, sviluppando:

5)
\overline{im}^{n-1} \left[n.oi + \sum (ia)_1 \right] - \overline{im}^{n-2} \left[(n-1).io\sum (ia)_1 + 2\sum (ia)_2 \right]+


+\overline{im}^{n-3} \left[(n-2).oi\sum (ia)_2 + 3\sum (ia)_3 \right] -\dots


 + (-1)^{n-1} \left[oi\sum (ia)_{n-1} + n\sum (ia)_n  \right]=0.

Siano m_1, \, m_2, \dots, m_{n-1} i centri armonici, di grado n - 1, del dato sistema rispetto al polo o, cioè i punti che soddisfanno alla 5); si avrà:

\sum (im)_r =\frac{(n-r)oi \sum (ia)_r + (r+1) \sum (ia)_{r+1}}{n.io + \sum (ia)_1}.


Ora sia \mu uno de' centri armonici, del grado n - 2, del sistema m_1,\, m_2, \dots, m_{n-1} rispetto ad un punto o' (della retta data); avremo analogamente alla 5):


\overline{i\mu}^{n-2} \left[(n-1).o'i + \sum (im)_1 \right] - \overline{i\mu}^{n-3} \left[(n-2).o'i\sum (im)_1 + 2\sum (im)_2 \right]+\dots


 + (-1)^{n-2} \left[o'i\sum (im)_{n-2} + (n-1)\sum (im)_{n-1}  \right]=0.


In questa equazione posto per \sum (im)_r il valore antecedentemente scritto, si ottiene:

A.oi.o'i  + B.(oi+o'i) +C=0,


ove

A=n(n-1)\overline{i\mu}^{n-2} - (n-1)(n-2) \overline{i\mu}^{n-3} \sum (ia)_1 + (n-2)(n-3) \overline{i\mu}^{n-4} \sum (ia)_2 -\dots,



B=(n-1)\overline{i\mu}^{n-2}\sum (ia)_1 - 2(n-2) \overline{i\mu}^{n-3} \sum (ia)_2 + 3(n-3) \overline{i\mu}^{n-4} \sum (ia)_3 -\dots,



C=1.2\overline{i\mu}^{n-2}\sum (ia)_2 - 2.3 \overline{i\mu}^{n-3} \sum (ia)_3 + 3.4 \overline{i\mu}^{n-4} \sum (ia)_4 -\dots;


il qual risultato, essendo simmetrico rispetto ad o, \, o', significa che:

Se m_1,\, m_2, \dots, m_{n-1} sono i centri armonici, di grado n - 1, del sistema a_1, \, a_2, \dots, a_n rispetto al polo o, e se m_1', \, m_2', \dots, m_{n-1}' sono i centri armonici, di grado n - 1, dello stesso sistema a_1, \, a_2, \dots, a_n rispetto ad un altro polo o'; i centri armonici, del grado