Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/20

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n - 2, del sistema m_1, \, m_2, \dots, m_{n-1} rispetto al polo o' coincidono coi centri armonici, del grado n - 2, del sistema m_1', \, m_2', \dots, m_{n-1}' rispetto al polo o.

Questo teorema, ripetuto successivamente, può essere esteso ai centri armonici di grado qualunque, e allora s'enuncia così:

Se m_1, \, m_2, \dots, m_r sono i centri armonici, di grado r, del sistema dato a_1, \, a_2, \dots, a_n rispetto al polo o, e se m_1', \, m_2',\dots, m_{r'}' sono i centri armonici, di grado r', dello stesso sistema dato rispetto ad un altro polo o', i centri armonici, di grado r+ r'- n, del sistema m_1, \, m_2, \dots, m_r rispetto al polo o' coincidono coi centri armonici, di grado r + r' - n, del sistema m_1', \, m_2',\dots, m_{r'}', rispetto al polo o.

15. Se m e \mu sono rispettivamente i centri armonici, di primo grado, dei sistemi a_1, \, a_2, \dots, a_n ed a_2, \, a_3, \dots, a_n, rispetto al polo o, si avrà:

\frac{n}{om} = \frac{1}{oa_1}+\frac{1}{oa_2} + \dots \frac{1}{oa_n},

\frac{n-1}{o\mu}=\frac{1}{oa_2}+\frac{1}{oa_3} + \dots \frac{1}{oa_n}.


Se a_1 è il centro armonico, di primo grado, del sistema di punti a_2, \, a_3, \dots, a_n rispetto al polo o, il punto a_1 è anche il centro armonico, di primo grado, del sistema a_1, \, a_2, \dots, a_n rispetto allo stesso polo.

16. Fin qui abbiamo tacitamente supposto che i dati punti a_1, \, a_2, \dots, a_n fossero distinti, ciascuno dai restanti. Suppongasi ora che r punti a_n, \, a_{n-1}, \dots, a_{n-r+1} coincidano in un solo, che denoteremo con a_0. Allora, se nella equazione 5) si assume a_0 in luogo dell'origine arbitraria i, risulta evidentemente:

\sum (ia)_n=0, \quad \sum (ia)_{n-1}=0, \dots, \sum (ia)_{n-r+1}=0,


onde l'equazione 5) riesce divisibile per  \overline{a_0m}^{r-1}, cioè r - 1 centri armonici del grado n-1 cadono in a_0, e ciò qualunque sia il polo o. Ne segue inoltre, avuto riguardo al teorema (13), che in a_0 cadono r - 2 centri armonici di grado n - 2; r - 3 centri armonici di grado n - 3,\dots ed un centro armonico di grado n - r+1.

17. L'equazione 3) moltiplicata per \overline{om}^r e per (-1)^r oa_1.oa_2\dots oa_n diviene:

6)
\overline{om}^r \sum (oa)_{n-r} - (n-r+1) \overline{om}^{r-1}\sum (oa)_{n-r+1} +


 +\frac{(n-r+2)(n-r+1)}{2}\overline{om}^{r-2}\sum (oa)_{n-r+2}+\dots


+ (-1)^r\frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{1.2\dots r}\sum (oa)_{n}=0.