Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/347

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Suppongo ora che il polo o coincida, insieme con a_n, \, a_{n-1}, \dots, a_{n-s+1}, in un unico punto. Allora si ha:

\sum (oa)_{n}=0, \quad \sum (oa)_{n-1}=0, \dots, \sum (oa)_{n-s+1}=0;


quindi l'equazione che precede riesce divisibile per \overline{om}^s, ossia il polo o tien luogo di s centri armonici di grado qualunque. Gli altri r - s centri armonici, di grado r, sono dati dall' equazione:

\overline{om}^{r-s} - (n-r+1) \overline{om}^{r-s-1} \sum (oa)_{n-r+1} +

 \frac{(n-r+2)(n-r+1)}{1.2} \overline{om}^{r-s-2} \sum (oa)_{n-r+2}-\dots =0,


ove le somme \sum (oa) contengono solamente i punti a_1, \, a_2, \dots, a_{n-s}. Dunque, gli altri r -s punti m, che insieme ad o preso s volte costituiscono i centri armonici, di grado r, del sistema a_1, \, a_2, \dots, a_n rispetto al polo o, sono i centri armonici, di grado r-s, del sistema a_1, \, a_2, \dots, a_{n-s} rispetto allo stesso polo o[1].

Si noti poi che, per s = r +1, l'ultima equazione è soddisfatta identicamente, qualunque sia m. Cioè, se r +1 punti a ed il polo o coincidono insieme, i centri armonici del grado r riescono indeterminati, onde potrà assumersi come tale un punto qualunque della retta a_1, \, a_2, \dots, ...[2].

Fig. 5.

18. Abbiasi, come sopra (11), in una retta R (fig. 5.a) un sistema di n punti a_1, \, a_2, \dots, a_n ed un polo o; sia inoltre m un centro armonico di grado r, onde fra i segmenti ma,

  1. <Viceversa, se s centri armonici (di grado qualunque) coincidono nel polo o, in questo coincideranno s punti del sistema fondamentale.>
  2. <Viceversa, se i centri armonici di grado r rispetto ad un polo o sono indeterminati, i centri armonici di grado r +1 sono tutti riuniti in o, e questo punto in tal caso assorbe anche r +1 punti del sistema fondamentale.>