Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/22

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oa sussisterà la relazione 1). Assunto un punto arbitrario c fuori di R e da esso tirate le rette ai punti o,\, a,\, m, seghinsi queste con una trasversale qualunque R' nei punti o',\, a', \, m'. Allora si avrà:

\frac{ma}{ca}:\frac{m'a'}{ca'}=\frac{\sin{cm'a'}}{\sin{cma}},


ed analogamente:

\frac{oa}{ca}:\frac{o'a'}{ca'}=\frac{\sin{co'a'}}{\sin{coa}},


donde si ricava:

\frac{ma}{oa}:\frac{m'a'}{o'a'}=\frac{\sin{cm'a'}}{\sin{co'a'}}:\frac{\sin{cma}}{\sin{coa}}.


Il secondo membro di questa equazione non varia, mutando i punti a,\, a', quindi avremo :

\frac{ma_1}{oa_1}:\frac{ma_2}{oa_2}:\dots:\frac{ma_n}{oa_n} = \frac{m'a_1'}{o'a_1'}:\frac{m'a_2'}{o'a_2'}:\dots:\frac{m'a_n'}{o'a_n'}.


Siccome poi la relazione 1) è omogenea rispetto alle quantità \frac{ma}{oa}, così se ne dedurrà:

\sum \left(\frac{m'a'}{o'a'}\right)_r=0,


cioè :

Se m è un centro armonico, di grado r, di un dato sistema di punti a_1, \, a_2, \dots, a_n situati in linea retta, rispetto al polo o posto nella stessa retta, e se tutti questi punti si projettano, mediante raggi concorrenti in un punto arbitrario, sopra una trasversale qualunque, il punto m' (projezione di m) sarà un centro armonico, di grado r, del sistema di punti a_1', \, a_2', \dots a_n' (projezioni di a_1, \, a_2, \dots, a_n) rispetto al polo o' (projezione di o).

Questo teorema ci abilita a trasportare ad un sistema di rette concorrenti in un punto le definizioni ed i teoremi superiormente stabiliti per un sistema di punti allineati sopra una retta.

19. Sia dato un sistema di n rette A_1, \, A_2, \dots, A_n ed un'altra retta O, tutte situate in uno stesso piano e passanti per un punto fisso c. Condotta una trasversale arbitraria R che, senza passare per c, seghi le rette date in a_1, \, a_2, \dots, a_n ed o, si imaginino gli r centri armonici m_1, \, m_2, \dots, m_r, di grado r, del sistema di punti a_1, \, a_2, \dots, a_n