Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/23

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rispetto al polo o. Le rette M_1, \, M_2, \dots, M_r condotte da c ai punti m_1, \, m_2, \dots, m_r si chiameranno assi armonici, di grado r, del dato sistema di rette A_1, \, A_2, \dots, A_n rispetto alla retta O.

Considerando esclusivamente rette passanti per c, avranno luogo i seguenti teoremi, analoghi a quelli già dimostrati per un sistema di punti in linea retta. [43]

Se M è un asse armonico, di grado r, del dato sistema di rette A_1, \, A_2, \dots, A_n rispetto alla retta O, viceversa O è un asse armonico di grado n-r, del medesimo sistema, rispetto alla retta M.

Se M_1, \, M_2, \dots, M_r sono gli assi armonici, di grado r, del dato sistema A_1, \, A_2, \dots, A_n, rispetto alla retta O, gli assi armonici, di grado s \, (s<r), del sistema M_1, \, M_2, \dots, M_r, rispetto ad O, sono anche gli assi armonici, del grado s, del sistema dato, rispetto alla stessa retta O.

Se M_1, \, M_2, \dots, M_r sono gli assi armonici, di grado r, del sistema dato A_1, \, A_2, \dots, A_n rispetto alla retta O e se M_1', \, M_2', \dots, M_{r'}' sono gli assi armonici, di grado r', dello stesso sistema dato, rispetto ad un'altra retta O'; gli assi armonici, di grado r+r'-n, del sistema M_1, \, M_2, \dots, M_r, rispetto alla retta O', coincidono cogli assi armonici, di grado r+r' - n, del sistema M_1', \, M_2', \dots, M_{r'}', rispetto alla retta O.

Qualunque sia la retta O, se r fra le rette date A_1, \, A_2, \dots, A_n coincidono in una sola, questa tien luogo di r - 1 assi armonici di grado n - 1, di r - 2 assi armonici di grado n- 2 ,\dots di un asse armonico di grado n - r + 1.

Se s rette A_n, \, A_{n-1}, \dots, A_{n-s+1} coincidono fra loro e colla retta O, questa tien luogo di s assi armonici di qualunque grado, e gli altri r - s assi armonici, di grado r, sono gli assi armonici, di grado r - s, del sistema A_1, \, A_2, \dots, A_{n-s} rispetto ad O.

20. Se al § 18 la trasversale R' vien condotta pel punto o, ossia se la retta R si fa girare intorno ad o, il teorema ivi dimostrato può essere enunciato così:

Siano date n rette A_1, \, A_2, \dots, A_n concorrenti in un punto c. Se per un polo fisso o si conduce una trasversale arbitraria R che seghi quelle n rette ne' punti a_1, \, a_2, \dots, a_n, i centri armonici di grado r, del sistema a_1, \, a_2, \dots, a_n, rispetto al polo o, generano, ruotando R intorno ad o, r rette M_1, \, M_2, \dots, M_r concorrenti in c.

E dagli ultimi due teoremi (19) segue:

Se s rette A_n, \, A_{n-1}, \dots A_{n-s+1} fra le date coincidono in una sola A_0, questa tien luogo di s - (n - r) delle rette M_1, \, M_2, \dots, M_r. Se inoltre A_0 passa pel polo o, essa tien luogo di s delle rette M_1, \, M_2, \dots, M_r. Le rimanenti r - s, fra queste rette, sono il luogo de' centri armonici di grado r - s (rispetto al polo o) de' punti, in cui R sega le rette A_1, \, A_2, \dots, A_{n-s}.