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Art. IV.

Teoria dell'involuzione.[44]


21. Data una retta, sia o un punto fisso in essa, a un punto variabile; inoltre siano k_1, \, k_2, \dots, h_1, \, h_2, \dots quantità costanti ed \omega una quantità variabile. Ora abbiasi un' equazione della forma:

1)
k_n \overline{oa}^n + k_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots + k_0 +

 \omega \left\{ h_n \overline{oa}^n + h_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots + h_0 \right\}=0

Ogni valore di \omegan valori di oa, cioè dà un gruppo di n punti a. Invece, se è dato uno di questi punti, sostituendo nella 1) il dato valore di oa, se ne dedurrà il corrispondente valore di \omega, e quindi, per mezzo dell'equazione medesima, si otterranno gli altri n - 1 valori di oa. Dunque, per ogni valore di \omega, l'equazione 1) rappresenta un gruppo di n punti così legati fra loro, che uno qualunque di essi determina tutti gli altri. Il sistema degli infiniti gruppi di n punti, corrispondenti agli infiniti valori di \omega, dicesi involuzione del grado n.[1] Una semplice punteggiata può considerarsi come un'involuzione di primo grado (§ 7). Un'involuzione è determinata da due gruppi. Infatti, se le equazioni:

k_n \overline{oa}^n + k_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots =0, \quad h_n \overline{oa}^n + h_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots =0


rappresentano i due gruppi dati, ogni altro gruppo dell'involuzione sarà rappresentato dalla :

k_n \overline{oa}^n + k_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots + \omega \left( h_n \overline{oa}^n + h_{n-1}\overline{oa}^{n-1} +\dots  \right)=0,


ove \omega sia una quantità arbitraria.

22. Ogni qualvolta due punti a d'uno stesso gruppo coincidano in un solo, diremo che questo è un punto doppio dell'involuzione. Quanti punti doppi ha l'involuzione rappresentata dall' equazione 1) ? La condizione che quest' equazione abbia due radici eguali si esprime eguagliando a zero il discriminante della medesima. Questo discriminante è una funzione, del grado 2(n-1), de' coefficienti dell'equazione; dunque, egua-

  1. Jonquières, Généralisation de la théorie de l'involution (Annali di Matematica, tomo 2.°, Roma 1859, pag. 86).