Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/351

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gliandolo a zero, si avrà un'equazione del grado 2(n-1) in \omega. Ciò significa esservi 2(n - 1) gruppi, ciascuno de' quali contiene due punti coincidenti, ossia:

Un'involuzione del grado n ha 2(n - 1) punti doppi.[1]

23. Siano a_1, \, a_2, \dots, a_n gli n punti costituenti un dato gruppo. Il centro armonico m, di primo grado, di questi punti, rispetto ad un polo o preso ad arbitrio sulla retta data, è determinato dall'equazione:

\frac{n}{om}=\sum \left( \frac{1}{oa}\right)_1 ,


donde, avuto riguardo alla 1), si trae:

om = -n \frac{k_0+\omega h_0}{k_1 + \omega h_1}.

Quindi, il segmento compreso fra due punti m, \, m', centri armonici di due gruppi diversi, si potrà esprimere così:

mm' = om' - om = \frac{n(h_0k_1 - h_1k_0)(\omega-\omega')}{(k_1 + \omega h_1)(k_1 + \omega'h_1)}.

Siano ora m_1,\, m_2,\, m_3, \, m_4 i centri armonici (di primo grado e relativi al polo o) di quattro gruppi, corrispondenti a quattro valori  \omega_1, \, \omega_2, \, \omega_3, \, \omega_4 di \omega; avremo:

(m_1 m_2 m_3 m_4) = \frac{\omega_1 -\omega_3}{\omega_2 - \omega_3}: \frac{\omega_1 -\omega_4}{\omega_2 - \omega_4};


questo risultato non si altera, se invece di o si assuma un altro punto; cioè il rapporto anarmonico dei quattro centri è indipendente dal polo o. Ne segue che la serie de' centri armonici (di primo grado) di tutt' i gruppi, rispetto ad un polo o, e la serie de' centri armonici (dello stesso grado) de' gruppi medesimi, rispetto ad un altro polo o', sono due punteggiate projettive.

Per rapporto anarmonico di quattro gruppi di un'involuzione, intenderemo il rapporto anarmonico de' loro centri armonici di primo grado, relativi ad un polo arbitrario.

  1. [Altra dimostrazione, ricorrendo ai § 23, 24] < I centri armonici di grado n - 1 dei gruppi dell'involuzione, rispetto a due poli o,\, o' formano due nuove involuzioni di grado n - 1, projettive alla data, epperò projettive fra loro. Queste due nuove involuzioni hanno 2(n - 1) punti comuni, che sono i punti doppi della data >.