Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/26

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Sia m uno de' centri armonici, di grado r (rispetto ad un polo o), di un dato gruppo dell'involuzione 1). L'equazione 6) del § 17, avuto riguardo alla 1) del § 21, ci darà:

2)
\overline{om}^r (k_r+\omega h_r) + (n-r+1)\overline{om}^{r-1}
(k_{r-1}+\omega h_{r-1})+ \dots

+ \frac{n(n-1)\dots (n-r+1)}{1.2\dots r} (k_0+\omega h_0)=0;


dunque: i centri armonici, di grado r, de' gruppi dell'involuzione 1) formano una nuova involuzione del grado r. Ogni valore di \omega dà un gruppo dell'involuzione 1) ed un gruppo dell'involuzione 2), cioè i gruppi delle due involuzioni si corrispondono tra loro ad uno ad uno. E siccome il rapporto anarmonico di quattro gruppi dipende esclusivamente dai quattro corrispondenti valori di \omega, così il rapporto anarmonico di quattro gruppi dell'involuzione 2) è eguale al rapporto anarmonico de' quattro corrispondenti gruppi dell'involuzione 1). La qual cosa risulta anche da ciò, che due gruppi corrispondenti delle due involuzioni hanno, rispetto al polo o, lo stesso centro armonico di primo grado (§ 13).[1]

24. Due involuzioni date sopra una stessa retta o sopra due rette diverse si diranno projettive, quando i centri armonici, di primo grado, de' gruppi dell'una, rispetto ad un polo qualunque, ed i centri armonici, di primo grado, de' gruppi dell'altra, rispetto ad un altro polo qualunque, formino due punteggiate projettive. Da questa definizione e da quella del rapporto anarmonico di quattro gruppi di un'involuzione si raccoglie che:

Date due involuzioni projettive, il rapporto anarmonico di quattro gruppi dell'una è eguale al rapporto anarmonico de' quattro corrispondenti gruppi dell'altra.

Cioè il teorema enunciato alla fine del § 8 comprende anche le involuzioni, purché queste si risguardino quali forme geometriche, i cui elementi sono gruppi di punti.

(a) Cerchiamo come si esprima la projettività di due involuzioni.

La prima di esse si rappresenti coll'equazione 1) e la seconda con quest'altra:

3)
K_m \overline{OA}^m + \dots + K_0 + \theta \left\{ H_m \overline{OA}^m + \dots + H_0\right\}=0,
  1. < I centri armonici di grado n - 1 di un dato gruppo di n punti in linea retta, rispetto ai vari punti di questa retta presi successivamente come poli, costituiscono gruppi in involuzione. (Per esempio, se i punti dati sono a, \, b, \, c, i centri armonici di 2° grado, rispetto ai poli a, \, b, \, c, sono a\alpha, \, b\beta, \, c\gamma, ove \alpha, \, \beta, \, \gamma siano i coniugati armonici di a, \, b,\, c rispetto alle coppie bc, \, ca, \, ab. Dunque le coppie a\alpha, \, b\beta, \, c\gamma sono in involuzione). In generale i punti doppi di quella involuzione costituiscono l'Hessiano del sistema dato.>