Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/27

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ove A è un punto qualunque della retta, nella quale è data la seconda involuzione; O è l'origine de' segmenti in questa retta; H_m,\, K_m, \dots sono coefficienti costanti.

Supponiamo, com'è evidentemente lecito, che ai gruppi \omega = 0,\, \omega =\infty, \, \omega = 1 della prima involuzione corrispondano nella seconda i gruppi \theta = 0, \, \theta= \infty, \,  \theta =1. Allora, affinchè le equazioni 1) e 3) rappresentino due gruppi corrispondenti, è necessario e sufficiente che il rapporto anarmonico dei quattro gruppi \omega = (0 ,\infty, 1, \omega) della prima involuzione sia eguale a quello de' gruppi \theta = (0, \infty, 1,\theta) della seconda, cioè dev'essere \omega= \theta. Dunque la seconda involuzione, a cagione della sua projettività colla prima, si potò rappresentare così:

4)
K_m \overline{OA}^m + \dots + K_0 + \omega \left\{ H_m \overline{OA}^m + \dots + H_0\right\} =0.


Le equazioni 1) e 4), per uno stesso valore di \omega, danno due gruppi corrispondenti delle due involuzioni projettive. Ed eliminando \omega fra le equazioni medesime si avrà la relazione che esprime il legame o la corrispondenza dei punti a,\, A.

(b) Se le due involuzioni sono in una stessa retta, i punti a,\,  A si possono riferire ad una sola e medesima origine: cioè al punto O può sostituirsi o. In questo caso, si può anche domandare quante volte il punto a coincida con uno de' corrispondenti punti A. Eliminato \omega dalle 1), 4) e posto oa in luogo di OA, si ha la:

5)
(k_n.\overline{oa}^n + \dots + k_0) (H_m.\overline{oa}^m + \dots H_0)-

(h_n.\overline{oa}^n + \dots + h_0) (K_m.\overline{oa}^m + \dots K_0)=0,


equazione del grado n+m rispetto ad oa. Dunque:

In una retta, nella quale sian date due involuzioni projettive, l'una di grado n, l'altra di grado m, esistono generalmente n + m punti, ciascun de' quali considerato come appartenente alla prima involuzione, coincide con uno de' punti corrispondenti nella seconda.

Questi si chiameranno i punti comuni alle due involuzioni.

(c) Se l'equazione 1) contenesse nel suo primo membro il fattore \overline{oa}^r, essa rappresenterebbe un'involuzione del grado n, i cui gruppi avrebbero r punti comuni, tutti riuniti in o; ossia rappresenterebbe sostanzialmente un'involuzione del grado n-r, a ciascun gruppo della quale è aggiunto r volte il punto o. In tal caso è manifesto che anche il primo membro dell'equazione 5) sarà divisibile per \overline{oa}^r; cioè gli n+m punti comuni alle due involuzioni proposte saranno costituiti dal punto o preso r volte e dagli m + n - r punti comuni alla seconda involuzione (di grado m) ed a quella di grado n - r, alla quale si riduce la prima, spogliandone i gruppi del punto o.