Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/354

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Se inoltre i gruppi della seconda involuzione contenessero s volte il punto o, questo figurerebbe r + s volte fra i punti comuni alle due involuzioni.

(d) Se un gruppo della prima involuzione (per es. quello che si ha ponendo \omega=0) contiene r volte uno stesso punto o, e se il corrispondente gruppo della seconda involuzione contiene s volte lo stesso punto o, ove sia s>r, è evidente che l'equazione 5) conterrà nel primo membro il fattore \overline{oa}^r, cioè il punto o terrà il posto di r punti comuni alle due involuzioni.

25. Merita speciale studio l'involuzione di secondo grado o quadratica, per la quale, fatto n = 2 nella 1), si ha un'equazione della forma:

6)
k_2. \overline{oa}^2 + k_1. oa + k_0 + \omega (h_2 . \overline{oa}^2 + h_1. oa + h_0)=0.


Qui ciascun gruppo è composto di due soli punti, i quali diconsi coniugati; e chiamasi punto centrale quello, il cui coniugato è a distanza infinita[1]. Posta l'origine o de' segmenti nel punto centrale ed inoltre assunto il gruppo, al quale esso appartiene, come corrispondente ad \omega=\infty, dovrà essere h_2 = h_0 = 0. Pertanto, se a,\, a' sono due punti coniugati qualunque, l'equazione 6) dà:

oa. oa' =\frac{k_0}{k_2}=cost.


Confrontando questa equazione con quella che esprime la projettività di due punteggiate (§ 9):

ia. j'a' = cost.


si vede che l'involuzione quadratica nasce da due punteggiate projettive, le quali vengano sovrapposte in modo da far coincidere i punti i,\, j' corrispondenti ai punti all'infinito. Altrimenti possiam dire che due punteggiate projettive sovrapposte formano un' involuzione (quadratica), quando un punto a, considerato come appartenente all'una o all'altra punteggiata, ha per corrispondente un solo e medesimo punto a'.

Da tale proprietà si conclude che nell'involuzione quadratica, il rapporto anarmonico di quattro punti è eguale a quello de' loro coniugati.

(a) Siano e,\, f i due punti doppi (§ 22) dell'involuzione, determinati dall'eguaglianza

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  1. |L'involuzione (aa', \, bb') ha i punti doppi reali o no, secondo che il rapporto anarmonico (aa'bb') è positivo o negativo.|