Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/356

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Assunto ad arbitrio nella retta data un punto m, si determini un punto m' per modo che sia

(abcm) = (cabm').


Variando simultaneamente m, \, m' generano due punteggiate proiettive, nelle quali ai punti a,\, b,\, c,\, m corrispondono ordinatamente c,\, a,\, b,\, m'. Se chiamansi d,\, e i punti comuni di queste punteggiate, si avrà:

(abcd) = (cabd), \quad (abce) = (cabe),


cioè il proposto problema è risoluto da ciascuno de' punti d,\, e.

Ora siano \alpha,\, \beta, \, \gamma i tre punti della retta data, che rendono armonici i tre sistemi (b,c,a, \alpha), (c,a,b,\beta), (a, b, c,\gamma); i due sistemi (a, b, c, \gamma), (a, c,b,\beta) saranno projettivi, e siccome al punto b, considerato come appartenente all' uno o all'altro sistema, corrisponde sempre c, così le tre coppie aa,\, bc, \, \beta\gamma sono in involuzione, cioè a è un punto doppio dell'involuzione quadratica determinata dalle coppie bc, \, \beta\gamma. L'altro punto doppio della stessa involuzione è \alpha, poiché il segmento bc è diviso armonicamente dai punti a,\, \alpha. Dunque a,\, \alpha dividono armonicamente non solo bc, ma anche \beta\gamma. Si ha perciò:

(bca\alpha) = (\beta\gamma a \alpha) = - 1,


ossia i sistemi (b,c,a,\alpha), (\beta, \gamma, \alpha, a) sono projettivi: la qual cosa torna a dire che le coppie  a\alpha, \, b\beta, \, c\gamma sono in involuzione.[1] [45]

Da un punto o preso ad arbitrio fuori della retta data imagininsi condotti i raggi o(a,\alpha,b,\beta,c,\gamma) e o(d,e), i quali tutti si seghino con una trasversale parallela ad oc nei punti a', \, \alpha', \, b',\, \beta', \, \infty,\, \gamma',\, d',\, e'. Avremo:

\lambda= (acdb) = (a'\infty d'b')=\frac{a'd'}{a'b'},


onde la 7) diverrà:

8)
\overline{a'd'}^2 - a'd'.a'b' + \overline{a'b'}^2=0.


Essendo (abc\gamma) = - 1, si ha (a'b'\infty \gamma') = -1, cioè \gamma' è il punto medio del segmento a'b'. Quindi, per le identità: a'd' = \gamma'd' - \gamma'a', a'b' = - 2\gamma'a', la 8) diviene:

9)
\overline{\gamma'd'}^2 = \overline{\gamma'e'}^2 = 3 \gamma'a'. \gamma'b',

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  1. Staudt, Geometrie der Lage, Nuernberg 1847, p. 121.