Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/31

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donde si ricava che \gamma' è il punto medio del segmento d'e', cioè si ha (d'e'\infty\gamma') =- 1, epperò (dec\gamma) =-1. Similmente si dimostra essere (deb\beta) = -1, (dea\alpha) = - 1; vale a dire d,\, e sono i punti doppi dell'involuzione (a\alpha,b\beta,c\gamma).[1]

Il rapporto anarmonico \lambda è dato dall' equazione 7), ossia è una radice cubica imaginaria di -1. Per conseguenza, i quattro punti a, \, b, \, c, \, d od a, \, b, \, c, \, e non possono essere tutti reali. L'equazione 9) ha il secondo membro negativo o positivo, secondo che a'b' siano punti reali o imaginari coniugati. Dunque, se i tre punti dati a,\, b,\, c sono tutti reali, i punti d,\, e sono imaginari coniugati; ma se due de' tre punti dati sono imaginari coniugati, i punti d,\, e sono reali.

L'equazione 8) poi mostra che, se a'b' = 0, anche a'd' = a'e' = 0; cioè, se due de' punti dati coincidono in un solo, in questo cadono riuniti anche i punti d,\, e.

27. Chiameremo equianarmonico un sistema di quattro punti, i cui rapporti anarmonici fondamentali siano eguali, ossia un sistema di quattro punti aventi per rapporti anarmonici le radici cubiche imaginarie di -1.

Quattro punti m_1, \, m_2, \, m_3, \, m_4 in linea retta siano rappresentati (§ 6) dall'equazione:

10)
A. \overline{om}^4 + 4B. \overline{om}^3 + 6 C. \overline{om}^2 + 4D. om + E = 0.


Se il sistema di questi quattro punti è equianarmonico, si avrà:

(m_1 m_2 m_3 m_4) = (m_1 m_3 m_4 m_2),


ovvero, sostituendo ai segmenti m_1m_2,\dots le differenze om_2-om_1, \dots:

(om_1-om_2)(om_1-om_3) (om_4-om_2) (om_4-om_3) +
 (om_2-om_3)^2 (om_1 - om_4)^2 = 0.


Sviluppando le operazioni indicate, quest' equazione si manifesta simmetrica rispetto ai quattro segmenti om, onde si potrà esprimerla per mezzo dei soli coefficienti della 10). Ed invero, coll' aiuto delle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un'equazione, si trova senza difficoltà:

AE - 4BD + 3C^2 = 0,


come condizione necessaria e sufficiente affinchè i quattro punti rappresentati dalla 10) formino un sistema equianarmonico.[2]

  1. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, Nürnberg 1856-57-60, p. 178.
  2. Painvin, Équation des rapports anharmoniques etc. (Nouvelles Annales de Mathématiques, t. 19. Paris 1860, p. 412).