Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/33

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delle posizioni di un punto mobile è anche l'inviluppo delle rette congiungenti fra loro le successive posizioni del punto medesimo.

Nel punto di contatto a la curva ha colla tangente A due punti comuni (contatto bipunto); quindi le due linee avranno, in generale, altri n - 2 punti d'intersecazione. Se due di questi n - 2 punti coincidono in un solo b, la retta A sarà tangente alla curva anche in b. In tal caso, la retta A dicesi tangente doppia; a e b sono i due punti di contatto[1].

Invece, se una delle n - 2 intersezioni s'avvicina infinitamente ad a, la retta A avrà ivi un contatto tripunto colla curva. In tal caso, la retta A dicesi tangente stazionaria, perchè, se indichiamo con a,\, a',\,  a'' i tre punti infinitamente vicini che costituiscono il contatto, essa rappresenta due tangenti successive aa',\, a'a''; e può anche dirsi ch'essa sia una tangente doppia, i cui punti di contatto a,\,  a' sono infinitamente vicini. Ovvero: se la curva si suppone generata dal movimento di una retta, quando questa arriva nella posizione A cessa di ruotare in un senso, si arresta e poi comincia a ruotare nel senso opposto. Il punto di contatto a della curva colla tangente stazionaria chiamasi flesso, perchè ivi la retta A tocca e sega la curva, onde questa passa dall'una all'altra banda della retta medesima.

30. Consideriamo ora una curva-inviluppo della classe m. Se A è una posizione della retta generatrice, cioè una tangente della curva, il punto a ove A è incontrata dalla tangente successiva, è il punto in cui la retta A tocca la curva. Quindi la curva inviluppo di una retta mobile è anche il luogo del punto comune a due successive posizioni della retta stessa.

Per un punto qualunque si possono condurre, in generale, m tangenti alla curva. Ma se si considera un punto a della curva, due di quelle m tangenti sono successive, cioè coincidono nella tangente A. Quindi per a passeranno, inoltre, m - 2 rette tangenti alla curva in altri punti.

Se due di queste m - 2 tangenti coincidono in una sola retta B, la curva ha in a due tangenti A, \, B, cioè passa due volte per a, formando ivi un nodo; le rette A e B toccano in a i due rami di curva che ivi s'incrociano. In questo caso, il punto a dicesi punto doppio[2].

Invece, se una delle m - 2 tangenti coincide con A, questa retta rappresenta tre

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  1. I due punti di contatto possono essere imaginari senza che la retta A cessi d'essere reale e di possedere tutte le proprietà di una tangente doppia.
  2. Le due tangenti A,\, B ponno essere imaginarie, epperò imaginari anche i due rami della curva, rimanendo reale il punto d'incrociamento a. Questo è, in tal caso, un punto isolato, e può considerarsi come un'ovale infinitesima o evanescente.