Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/34

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tangenti successive A,\,  A',\,  A'', ed il punto a può considerarsi come un punto doppio, le cui tangenti A,\, A' coincidano (cioè, il cui nodo sia ridotto ad un punto). Nel caso che si considera, il punto a dicesi cuspide o regresso o punto stazionario, perchè esso rappresenta l'intersezione della tangente A con A' e di A' con A''; ossia perchè, se s'imagina la curva generata da un punto mobile, quando questo arriva in a si arresta, rovescia la direzione del suo moto e quindi passa dalla parte opposta della tangente A (tangente cuspidale).

Dalle formole di Plücker, che saranno dimostrate in seguito (Art. XVI), si raccoglie che una curva-luogo di dato ordine non ha in generale punti doppi nè cuspidi, bensì tangenti doppie e flessi; e che una curva-inviluppo di data classe è in generale priva di tangenti singolari, ma possiede invece punti doppi e punti stazionari.

Però, se la curva è di natura speciale, vi potranno anche essere punti o tangenti singolari di più elevata moltiplicità. Una tangente si dirà multipla secondo il numero r, ossia (r)pla, quando tocchi la curva in r punti, i quali possono essere tutti distinti, o in parte o tutti coincidenti. Un punto si dirà (r)pla, quando per esso la curva passi r volte, epperò ammetta ivi r tangenti tutte distinte, ovvero in parte o tutte sovrapposte.

31. Se una curva ha un punto (r)pla a, ogni retta condotta per a sega ivi r volte la curva, onde il punto a equivale ad r intersezioni della retta colla curva. Ma se la retta tocca uno de' rami della curva, passanti per a, essa avrà in comune con questa anche quel punto di esso ramo che è successivo ad a; cioè questo punto conta come <almeno> r+1 intersezioni della curva colla tangente. Dunque, fra tutte le rette condotte per a ve ne sono al più r (le tangenti agli r rami) che segano ivi la curva in r+1 punti coincidenti; epperò, se vi fossero r+1 rette dotate di tale proprietà, questa competerebbe ad ogni altra retta condotta per a, cioè a sarebbe un punto multiplo secondo il numero r+1.

Analogamente: se una curva ha una tangente A multipla secondo r, questa conta per r tangenti condotte da un punto preso ad arbitrio in essa, ma conta per <almeno> r+1 tangenti rispetto a ciascuno de' punti di contatto della curva con A. Cioè da ogni punto di A partono r tangenti coincidenti con A; e vi sono al più r punti in questa retta, da ciascun de' quali partono r+1 tangenti coincidenti colla retta stessa. Onde, se vi fosse un punto di più, dotato di tale proprietà, questa spetterebbe a tutt' i punti di A, e per conseguenza questa retta sarebbe una tangente multipla secondo r+1.

Da queste poche premesse segue che:

Se una linea dell'ordine n ha un punto (n)plo a, essa non è altro che il sistema di n rette concorrenti in a. Infatti, la retta che unisce a ad un altro punto qualunque del luogo ha, con questo, n + 1 punti comuni, epperò fa parte del luogo medesimo.