Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/361

Da Wikisource.


Così, se un inviluppo della classe m ha una tangente (m)pla, esso è il sistema di m punti situati sopra questa retta.

Una curva semplice dell'ordine n non può avere, oltre ad un punto (n - 1)plo, anche un punto doppio, perchè la retta che unisce questi due punti avrebbe n +1 intersezioni comuni colla curva. Analogamente, una curva semplice della classe m non può avere una tangente (m - 1)pla ed inoltre un'altra tangente doppia, perchè esse rappresenterebbero m +1 tangenti concorrenti nel punto comune alle medesime.


Art. VI.

Punti e tangenti comuni a due curve.


32. In quanti punti si segano due curve, gli ordini delle quali siano n, \, n'? [46] Ammetto, come principio evidente, che il numero delle intersezioni dipenda unicamente dai numeri n, \, n', talché rimanga invariato, sostituendo alle curve date altri luoghi dello stesso ordine. Se alla curva d'ordine n' si sostituiscono n' rette, queste incontrano la curva d'ordine n in nn' punti; dunque: due curve, i cui ordini siano n,\, n', si segano in nn' punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti).

Si dirà che due curve hanno un contatto bipunto, tripunto, quadripunto, cinquipunto, sipunto, ... quando esse abbiano due, tre, quattro, cinque, sei, ... punti consecutivi comuni, e per conseguenza anche due, tre, quattro, cinque, sei, ... tangenti consecutive comuni.

Se per un punto a passano r rami di una curva ed r' di un' altra, quel punto dee considerarsi come intersezione di ciascun ramo della prima curva con ciascun ramo della seconda, epperò equivale ad rr' intersezioni sovrapposte. Se, inoltre, un ramo della prima curva ed un ramo della seconda hanno in a la tangente comune, essi avranno ivi due punti comuni, onde a equivarrà ad rr' +1 intersezioni. In generale, se in a le due curve hanno s tangenti comuni, a equivale ad rr'+s punti comuni alle due curve.

Come caso speciale, quando le r tangenti della prima curva e le r' dell'altra, nel punto comune a, coincidono tutte insieme in una sola retta T, questa, supposto r'< r, rappresenta r' tangenti comuni, onde il numero delle intersezioni riunite in a sarà r'(r + 1). Ma questo numero può divenir più grande [47], ogniqualvolta la retta T abbia un contatto più intimo con alcuna delle linee proposte, cioè la incontri in più di r+1 od r'+1 punti riuniti in a. Per esempio, se in a la retta T avesse 2r punti comuni colla prima curva ed r'+1 colla seconda, il punto a equivarrebbe ad r(r'+1) intersezioni delle due curve. Del che è facile persuadersi, assumendo un sistema di r curve K