Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/362

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di second' ordine aventi un punto comune a ed ivi toccate da una stessa retta T; ed inoltre un' altra curva qualunque C dotata di r' rami passanti per a ed ivi aventi la comune tangente T. In tal caso il punto a rappresenta r'+1 intersezioni di C con ciascuna delle curve K; epperò equivale ad r(r'+1) punti comuni a C ed al sistema completo delle curve K.

Analogamente si dimostra che due curve, le cui classi siano m,\,  m', hanno mm' tangenti comuni. Ecc.1


Art. VII.

Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe.


33. Se una curva dee passare per un dato punto a, ciò equivale manifestamente ad una condizione.

Per a conducasi una retta A; se la curva deve contenere anche il punto di A che è successivo ad a, cioè se la curva deve non solo passare per a, ma anche toccare ivi la retta A, ciò equivale a due condizioni.

Per a conducasi una seconda retta A_1; se oltre ai due punti consecutivi di A, la curva dovesse contenere anche quel punto di A_1 che è successivo ad a, ciò equivarrebbe a tre condizioni. Ma in tal caso, due rette condotte per a segherebbero ivi due volte la curva, cioè a sarebbe un punto doppio per questa. Dunque, se la curva dee avere un punto doppio in a, ciò equivale a tre condizioni.

Se la curva deve avere in a un punto doppio (tre condizioni), una retta qualunque A condotta per a conterrà due punti di quella, coincidenti in a. Se la curva deve passare per un terzo punto successivo di A, cioè se questa retta dovrà avere in a tre punti comuni colla curva, ciò equivarrà ad una nuova condizione. Se lo stesso si esige per una seconda retta A_1 e per una terza A_2 (passanti per a), si avranno in tutto sei condizioni. Ma quando per a passino tre rette, ciascuna delle quali seghi ivi tre volte la curva, quello è un punto triplo (31); dunque, se la curva dee avere in a un punto triplo, ciò equivale a sei condizioni.

In generale: sia x_{r-1} il numero delle condizioni, perchè la curva abbia in a un punto (r-1)^{plo}. Ogni retta A condotta per a, avrà ivi r-1 punti comuni colla curva.

  1. Le proprietà delle curve di data classe si deducono dalle proprietà delle curve di dato ordine, e reciprocamente, mediante il principio di dualità, che noi consideriamo come primitivo ed assoluto, cioè indipendente da qualsivoglia teoria speciale di trasformazione di figure.