Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/36

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di second' ordine aventi un punto comune a ed ivi toccate da una stessa retta T; ed inoltre un' altra curva qualunque C dotata di r' rami passanti per a ed ivi aventi la comune tangente T. In tal caso il punto a rappresenta r'+1 intersezioni di C con ciascuna delle curve K; epperò equivale ad r(r'+1) punti comuni a C ed al sistema completo delle curve K.

Analogamente si dimostra che due curve, le cui classi siano m,\,  m', hanno mm' tangenti comuni. Ecc.[1]


Art. VII.

Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe.


33. Se una curva dee passare per un dato punto a, ciò equivale manifestamente ad una condizione.

Per a conducasi una retta A; se la curva deve contenere anche il punto di A che è successivo ad a, cioè se la curva deve non solo passare per a, ma anche toccare ivi la retta A, ciò equivale a due condizioni.

Per a conducasi una seconda retta A_1; se oltre ai due punti consecutivi di A, la curva dovesse contenere anche quel punto di A_1 che è successivo ad a, ciò equivarrebbe a tre condizioni. Ma in tal caso, due rette condotte per a segherebbero ivi due volte la curva, cioè a sarebbe un punto doppio per questa. Dunque, se la curva dee avere un punto doppio in a, ciò equivale a tre condizioni.

Se la curva deve avere in a un punto doppio (tre condizioni), una retta qualunque A condotta per a conterrà due punti di quella, coincidenti in a. Se la curva deve passare per un terzo punto successivo di A, cioè se questa retta dovrà avere in a tre punti comuni colla curva, ciò equivarrà ad una nuova condizione. Se lo stesso si esige per una seconda retta A_1 e per una terza A_2 (passanti per a), si avranno in tutto sei condizioni. Ma quando per a passino tre rette, ciascuna delle quali seghi ivi tre volte la curva, quello è un punto triplo (31); dunque, se la curva dee avere in a un punto triplo, ciò equivale a sei condizioni.

In generale: sia x_{r-1} il numero delle condizioni, perchè la curva abbia in a un punto (r-1)^{plo}. Ogni retta A condotta per a, avrà ivi r-1 punti comuni colla curva.

  1. Le proprietà delle curve di data classe si deducono dalle proprietà delle curve di dato ordine, e reciprocamente, mediante il principio di dualità, che noi consideriamo come primitivo ed assoluto, cioè indipendente da qualsivoglia teoria speciale di trasformazione di figure.