Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/37

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Se questa dee contenere un altro punto successivo di A, cioè se la retta A deve in a avere r punti comuni colla curva, ciò equivale ad una nuova condizione. Se la stessa cosa si esige per altre r-1 rette passanti per a, si avranno in tutto x_{r-1}+r condizioni. Ora, quando per a passano r rette, ciascuna avente ivi r punti comuni colla curva, a è un punto multiplo secondo r (31); dunque, se la curva deve avere in a un punto (r)^{plo}, ciò equivale ad un numero x_r = x_{r-1} +r di condizioni; ossia x_r=\tfrac{r(r+1)}{2}.

34. Da quante condizioni è determinata una curva d'ordine n? Se la curva debba avere un dato punto a multiplo secondo n, ciò equivale (33) ad \tfrac{n(n+1)}{2} condizioni. Ma una linea d'ordine n, dotata di un punto (n)^{plo} a, è il sistema di n rette concorrenti in a (31); e, affinchè queste siano pienamente individuate, basta che sia dato un altro punto per ciascuna di esse. Dunque:

Il numero delle condizioni che determinano una curva d'ordine n è

\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+3)}{2}.[1]

Se sono date solamente  \frac{n(n+3)}{2}-1 condizioni, vi saranno infinite curve d'ordine n che le potranno sodisfare, e fra esse ve ne saranno alcune (siane N il numero) che passeranno per un punto qualunque dato. L'intero sistema di quelle curve, in numero infinito, chiamasi serie d'ordine n e d'indice N.[2][48]

Per esempio, le tangenti di una curva della classe m formano una serie d'ordine 1 e d'indice m.

In generale esiste sempre una linea che inviluppa una serie data <d'indice N>, cioè che in ciascun de' suoi punti tocca una curva della serie. <Essa è il luogo dei punti, pei quali due delle N curve della serie coincidono.> Tutta la serie si può concepire generata dal movimento continuo di una curva, che vada cambiando di forma e di posizione, in modo però da sodisfare alle condizioni proposte. I punti, in cui una curva della serie sega quella che le succede immediatamente, sono anche i punti di contatto fra la prima di queste curve e la linea inviluppo della serie. [49]

35. Il teorema or ora dimostrato (34) ci mette in grado di stabilire quest'altro:

  1. Così, una curva della classe m è determinata da \tfrac{m(m+3)}{2} condizioni.
  2. Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d'un ordre quelconque (Journal de M. Liouville, [2e sèrie, t. 6] avril 1861, p. 113).