Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/364

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che una curva semplice dell'ordine n non può avere più di \tfrac{(n-1)(n-2)}{2} punti doppi (comprese le cuspidi). Infatti: se ne avesse uno di più, per questi \tfrac{(n-1)(n-2)}{2}+1 e per altri n - 3 punti della stessa curva, in tutto \tfrac{(n-2)(n-2+3)}{2} punti, si potrebbe far passare una curva dell'ordine n - 2, la quale avrebbe in comune colla linea data

2\left\{\frac{(n-1)(n-2)}{2} +1\right\} + n-3 = n(n-2) +1

intersezioni: il che è impossibile, se la curva data non è composta di linee d'ordine minore.[1]

Art. VIII.

Porismi di Chasles e teorema di Carnot.


Fig. 6.a

36. Sia dato (fig. 6.a) un triangolo ABC. Un punto qualunque a di BC è individuato dal rapporto \tfrac{aC}{aB}; e parimenti, un punto qualunque b di CA è individuato dal rapporto \tfrac{bC}{bA}. Tirate le rette Aa,\, Bb, queste s'incontrino in un punto m, che è, per conseguenza, determinato dai due rapporti \tfrac{aC}{aB}, \, \tfrac{bC}{bA}, i quali chiameremo coordinate del punto m. La retta Cm seghi AB in c: così si ottiene un terzo rapporto \tfrac{cB}{cA}. Fra i tre rapporti ha luogo una semplice relazione, poiché, in virtù del noto teorema di

  1. Plücker, loco citato, p. 215.