Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/39

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Ceva[1], si ha:

\frac{bC}{bA}:\frac{aC}{aB}= - \frac{cB}{cA}.

Quando il punto m è sopra una delle due rette CA,\, CB, una delle due coordinate è nulla. Se m è sopra AB, le due coordinate sono entrambe infinite, ma è finito il loro rapporto, che è espresso da -\tfrac{cB}{cA}.

Supponiamo che m si muova sopra una retta data: i punti a e b genereranno sopra CB e CA due punteggiate projettive, cioè ad ogni posizione del punto a corrisponderà una sola posizione di b e reciprocamente. Dunque, fra i rapporti \tfrac{aC}{aB},\, \tfrac{bC}{bA} che determinano i due punti a,\, b, avrà luogo una equazione di primo grado rispetto a ciascun d'essi. Siccome poi, nel punto in cui la retta data incontra AB, entrambi i rapporti \tfrac{aC}{aB},\, \tfrac{bC}{bA} diventano infiniti, così quell'equazione non può essere che della forma:

1)
\lambda \frac{aC}{aB} + \mu \frac{bC}{bA} +\nu =0 .

Questa relazione fra le coordinate di un punto qualunque m di una retta data è ciò che si chiama equazione della retta.

Di quale forma sarà la relazione fra le coordinate di m, se questo punto si muove percorrendo una curva d'ordine n? Una retta qualunque, la cui equazione sia la 1), incontra la curva in n punti; quindi la relazione richiesta e l'equazione 1) dovranno essere simultaneamente sodisfatte da n coppie di valori delle coordinate \tfrac{aC}{aB},\, \tfrac{bC}{bA}; la qual cosa esige necessariamente che la richiesta relazione sia del grado n rispetto alle coordinate del punto variabile, considerate insieme.

Dunque, se il punto m percorre una curva d'ordine n, fra le coordinate variabili di m avrà luogo una relazione costante della forma:

2)
\alpha \left(\frac{aC}{aB}\right)^n + \left[\beta + \gamma  \frac{bC}{bA} \right] \left(\frac{aC}{aB}\right)^{n-1} + \dots +\pi \left(\frac{bC}{bA}\right)^n +\rho =0 ,

la quale può dirsi l'equazione della curva luogo del punto mobile.

Reciprocamente: se il punto m varia per modo che fra le sue coordinate abbia luogo una relazione costante della forma 2), il luogo del punto m è una curva d'ordine n.

  1. Dato da Ceva nel 1678. — Einleitung