Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/366

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37. Consideriamo di nuovo (fig. 7a) un triangolo ABC; un punto a in BC, determinato dal rapporto \tfrac{aB}{aC} ed un punto b in CA, determinato dal rapporto \tfrac{bA}{bC}, individuano una retta ab la quale è, per conseguenza, determinata dai due rapporti \tfrac{aB}{aC} , \tfrac{bA}{bC}.

Fig. 7.a

Questi due rapporti si chiameranno coordinate della retta. La quale poi incontra AB in un terzo punto c, e così dà luogo ad un terzo rapporto \tfrac{cB}{cA}. In virtù del noto teorema di Menelao[1], i tre rapporti sono connessi fra loro dalla relazione semplicissima:

\frac{aB}{aC}:\frac{bA}{bC}=\frac{cB}{cA}.

Quando la retta ab passa per l'uno o per l'altro de' punti A, B, una delle due coordinate è zero. Se poi la retta passa per C, entrambe le coordinate sono infinite, ma è finito il loro rapporto \tfrac{cB}{cA}.

Supponiamo che la retta ab varii girando intorno ad un punto dato. Allora i punti a,\, b genereranno due punteggiate projettive, epperò fra le due coordinate di ab avrà luogo una equazione di primo grado rispetto a ciascuna coordinata. E siccome, quando la retta mobile passa per C, entrambe le coordinate divengono infinite, così la forma dell'equazione sarà:

1')
\lambda \frac{aB}{aC} + \mu \frac{bA}{bC} +\nu =0 .

Questa relazione fra le coordinate di una retta mobile intorno ad un punto dato può chiamarsi l'equazione del punto (considerato come inviluppo della retta mobile).

  1. Menelaus, Sphaerica, III, 1. — Einleitung.