Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/367

Da Wikisource.


Suppongasi ora che la retta ab varii inviluppando una curva della classe m; qual relazione avrà luogo fra le coordinate della retta variabile? Da un punto qualunque, l'equazione del quale sia la 1'), partono m tangenti della curva, cioè m posizioni della retta mobile. Dunque la relazione richiesta e l'equazione 1') dovranno essere sodisfatte simultaneamente da m sistemi di valori delle coordinate. Onde s'inferisce che la relazione richiesta sarà del grado m rispetto alle coordinate considerate insieme.

Dunque: se una retta si muove inviluppando una curva della classe m, fra le coordinate variabili della retta avrà luogo una relazione costante della forma:

2')
\alpha \left(\frac{aB}{aC}\right)^n + \left[\beta + \gamma  \frac{bA}{bC} \right] \left(\frac{aB}{aC}\right)^{n-1} + \dots +\pi \left(\frac{bA}{bC}\right)^n +\rho =0 ,

la quale può risguardarsi come l'equazione della curva inviluppata dalla retta mobile.

Viceversa: se una retta varia per modo che le sue coordinate sodisfacciano costantemente ad una relazione della forma 2'), l'inviluppo della retta sarà una curva della classe m.

I due importanti porismi dimostrati in questo numero e nel precedente sono dovuti al sig. Chasles[1].

38. Riprendiamo l'equazione 2). Pei punti a,\, a', \dots in cui la curva da essa rappresentata sega la retta CB, la coordinata \tfrac{bC}{bA} è nulla e l'altra coordinata si desumera dall'equazione medesima, ove si faccia \tfrac{bC}{bA}=0. Si avrà così:

\frac{aC}{aB}.\frac{a'C}{a'B}\dots = (-1)^n \frac{\rho}{\alpha}.

Analogamente, pei punti b,\, b', \dots in cui la curva sega CA si ottiene:

\frac{bC}{bB}.\frac{b'C}{b'B}\dots = (-1)^n \frac{\rho}{\pi}.

Divisa l'equazione 2) per \left(\tfrac{aC}{aB}\right)^n e avuto riguardo al teorema di Ceva, si ha:

\alpha + \beta \frac{aB}{aC} - \gamma \frac{cB}{cA} +\dots + \pi \left ( - \frac{cB}{cA}\right)^n + \rho \left( \frac{aB}{aC}\right)^n=0,

  1. Aperçu historique, p. 280. <Chasles, Lettre à M. Quetelet. Correspondance mathématique et physique, t. VI, pag. 81, Bruxelles 1830.>