Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/368

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dove facendo \tfrac{aB}{aC} = 0 si avranno i punti c, \, c', \dots comuni alla curva ed alla retta AB; dunque:

\frac{cB}{cA}.\frac{c'B}{c'A} \dots = \frac{\alpha}{\pi}.

Dai tre risultati così ottenuti si ricava:

3)
\frac{aB}{aC}.\frac{a'B}{a'C} \dots \times \frac{bC}{bA}.\frac{b'C}{b'A} \dots \times \frac{cA}{cB}.\frac{c'A}{c'B} \dots  =1 ,

e si ha così il celebre teorema di Carnot[1]:

Se una curva dell'ordine n incontra i lati di un triangolo ABC ne'punti aa'\dots in BC, bb'\dots in CA, cc'\dots in AB, si ha la relazione 3).

Questo teorema si applica anche ad un poligono qualsivoglia.

39. Per n = 1 il teorema di Carnot rientra in quello di Menelao. Per n = 2, si ha una proprietà di sei punti d'una curva di second'ordine. E siccome una curva siffatta è determinata da cinque punti (34), così avrà luogo il teorema inverso:

Se nei lati BC,\, CA,\, AB di un triangolo esistono sei punti aa', \, bb', \, cc' tali che si abbia la relazione:

4)
\frac{aB}{aC}.\frac{a'B}{a'C} .\frac{bC}{bA}.\frac{b'C}{b'A} .\frac{cA}{cB}.\frac{c'A}{c'B} =1 ,

i sei punti aa'bb'cc' sono in una curva di second'ordine.

Se i punti a'b'c' coincidono rispettivamente con abc, cioè se la curva tocca i lati del triangolo in a, \, b, \, c, la precedente relazione diviene:

\frac{aB}{aC}.\frac{bC}{bA}.\frac{cA}{cB} =\pm 1 .

De' due segni, nati dall' estrazione della radice quadrata, non può prendersi il positivo, poiché in tal caso, pel teorema di Menelao, i tre punti abc sarebbero in una retta: il che è impossibile, non potendo una curva di second'ordine essere incontrata da una retta in più che due punti. Preso adunque il segno negativo, si conclude, in virtù del teorema di Ceva, che le rette Aa,\, Bb,\, Cc concorrono in uno stesso punto. Cioè: se una curva di second'ordine è inscritta in un triangolo, le rette che ne uniscono i vertici ai punti di contatto de' lati opposti passano per uno stesso punto.

  1. Géométrie de position, Paris 1803, p. 291 <n. 235; e p. 436, n. 378. > [50]