Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/43

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(a). Per n = 3, dal teorema di Carnot si ricava che, se i lati d'un triangolo ABC segano una curva del terz'ordine (o più brevemente cubica) in nove punti aa'a'',\, bb'b'', \, cc'c'' ha luogo la relazione segmentarla:

5)
\frac{aB . a'B . a''B . bC . b'C . b''C . cA . c'A . c''A}{aC . a'C . a''C . bA. b'A . b''A . cB . c'B . c''B} = 1.

Se i sei punti aa'bb'cc' sono in una curva di second'ordine, si avrà anche la relazione 4), per la quale dividendo la 5) si ottiene:

\frac{a'B . b''C . c''}{a''C . b''A . c''B}=1

cioè i punti a''b''c'' saranno in linea retta. E viceversa, se a''b''c'' sono in linea retta, gli altri sei punti sono in una curva di second'ordine.

(b). Quando il luogo di second'ordine aa'bb'cc' riducasi al sistema di due rette coincidenti, si ha:

Se ne' punti in cui una cubica è segata da una retta data si conducono le tangenti, queste vanno ad incontrare la curva in tre altri punti che giacciono in una seconda retta.[1]

Se una retta tocca una cubica in un punto a e la sega semplicemente in a'', questo secondo punto dicesi tangenziale del primo. Onde possiamo dire che, se tre punti di una cubica sono in una retta R, i loro tangenziali giacciono in una seconda retta S.

La retta S dicesi retta satellite di R (retta primaria), ed il punto comune alle R, S si chiama punto satellite di R.

Se R è tangente alla cubica, il punto satellite coincide col tangenziale del punto di contatto, e la retta satellite è la tangente alla cubica nel punto satellite.

(c). Supponendo che la retta a''b''c'' divenga una tangente stazionaria della cubica, si ha:

Se da un flesso di una cubica si conducono tre trasversali arbitrarie, queste la segano di nuovo in sei punti situati in una curva di secondi ordine.

Dunque, se di questi sei punti, tre sono in linea retta, gli altri tre saranno in una seconda retta, epperò:

Se da un flesso si conducono tre tangenti ad una cubica, i tre punti di contatto sono in linea retta.[2]

  1. Vedi il trattato di Maclaurin sulle curve del 3.° ordine, tradotto da Jonquières: Mélanges de géométrie pure, Paris 1856, p. 223.
  2. Maclaurin, l. c. p. 226.