Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/44

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(d). Supposti i punti a''b''c'' in linea retta, gli altri sei aa'bb'cc' sono in una curva di second'ordine; onde, se tre di questi, a'b'c', coincidono, si avrà:

Se tre trasversali condotte da un punto a' di una cubica tagliano questa in tre punti a'' b'' c'' situati in linea retta ed in altri tre punti abc, la cubica avrà in a' un contatto tripunto con una curva di second'ordine passante per abc.

Se a''b''c'' coincidono in un flesso, dal teorema precedente si ricava:

Ogni trasversale condotta per un flesso di una cubica sega questa in due punti, ne'quali la curva data ha due contatti tripunti con una stessa curva di second'ordine.[1]

E per conseguenza:

Se da un flesso di una cubica si conduce una retta a toccarla in un altro punto, in questo la cubica ha un contatto sipunto con una curva di second'ordine.[2]

40. Consideriamo una curva-inviluppo della classe m, rappresentata dall'equazione 2'). Per ottenere le tangenti di questa curva, passanti per A, dobbiamo fare ivi  \tfrac{bA}{bC}= 0; l'equazione risultante darà i valori dell'altra coordinata relativi ai punti a,\, a', \dots in cui il lato BC è incontrato dalle tangenti passanti per A. Avremo così:

\frac{aB}{aC}. \frac{a'B}{a'C}\dots = (-1)^m \frac{\rho}{\alpha}.

Analogamente, pei punti b,\, b', \dots in cui il lato CA è incontrato dalle tangenti passanti per B, avremo:

\frac{bA}{bC}. \frac{b'A}{b'C}\dots = (-1)^m \frac{\rho}{\pi}.

Dividasi ora l'equazione 2') per \left(\tfrac{bA}{bC}\right)^m; avuto riguardo alla relazione:

\frac{aB}{aC}:\frac{bA}{bC}=\frac{cB}{cA},

si otterrà:

\alpha \left (\frac{cB}{cA} \right)^m + \beta \left (\frac{cB}{cA} \right)^{m-1}. \frac{bC}{bA} + \gamma \left (\frac{cB}{cA} \right)^{m-1} + \dots + \pi + \rho \left (\frac{bC}{bA} \right)^m=0. Se in questa equazione si fa \tfrac{bC}{bA} = 0, si avranno i punti c, c', \dots in cui AB è

  1. Poncelet, Analyse des transversales (Giornale di Crelle, t. 8, Berlino 1832, p. 129-135).
  2. Plücker, Ueber Curven dritter Ordnung und analytische Beweisführung (Giornale di Grelle, t. 34, Berlino 1847, p. 330).