Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/45

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incontrata dalle tangenti che passano per C. Quindi

 \frac{cB}{cA}.\frac{c'B}{c'A} \dots = (-1)^m \frac{\pi}{\alpha}.

I tre risultati così ottenuti danno:

3')
\frac{aB}{aC}.\frac{a'B}{a'C} \dots\times \frac{bC}{bA}.\frac{b'C}{b'A} \dots \times \frac{cA}{cB}.\frac{c'A}{c'B} \dots = (-1)^m.

Si ha dunque il teorema:

Se dai vertici di un triangolo ABC si conducono le tangenti ad una curva della classe m, le quali incontrino i lati opposti né punti ad aa' \dots, bb' \dots, cc' \dots, fra i segmenti determinati da questi punti sui lati si ha la relazione 3').[1]

Per m=1 si ricade nel teorema di Ceva. Per m = 2 si ha una proprietà relativa a sei tangenti di una curva di seconda classe; e se ne deduce il teorema che, se una tal curva è circoscritta ad un triangolo, le tangenti nei vertici incontrano i lati opposti in tre punti situati sopra una stessa retta. Ecc. ecc.

41. Si rappresentino con U=0, U' = 0 due equazioni analoghe alla 2), relative a due curve d'ordine n. Indicando con \lambda una quantità arbitraria, l'equazione U +\lambda U' = 0 rappresenterà evidentemente un'altra curva d'ordine n. I valori delle coordinate \tfrac{aC}{aB},\, \tfrac{bC}{bA}, che annullano U ed U', annullano anche U + \lambda U'; dunque le n^2 intersezioni delle due curve rappresentate da U = 0, U'=0 appartengono tutte alla curva rappresentata da U + \lambda U'=0.[2] Siccome poi quest'ultima equazione rappresenta una curva dell'ordine n per ciascuno degli infiniti valori che si possono attribuire a \lambda, così abbiamo il teorema:

Per le n^2 intersezioni di due curve dell'ordine n passano infinite altre curve dello stesso ordine.

Altrove (34) si è dimostrato che una curva d'ordine n è determinata da \tfrac{n(n+3)}{2} condizioni. Dal teorema precedente segue che per \tfrac{n(n+3)}{2} punti passa, in generale, una sola curva d'ordine n: poiché, se per quei punti passassero due curve di quest'ordine, in virtù di quel teorema, se ne potrebbero tracciare infinite altre.

  1. Chasles, Géométrie supérieure, Paris 1852, p. 361.
  2. Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, Paris 1818, p. 28.