Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/46

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Per \tfrac{n(n+3)}{2}-1 punti dati (34) passano infinite curve d'ordine n, due delle quali si segheranno in altri n^2 - \left(\tfrac{n(n+3)}{2}-1 \right)= \tfrac{(n-1)(n-2)}{2} punti; questi apparterranno dunque anche a tutte le altre curve descritte pei punti dati. Ossia:

Per \tfrac{n(n+3)}{2} -1 punti dati ad arbitrio passano infinite curve d'ordine n, le quali, [51] oltre i dati, hanno in comune altri \tfrac{(n-1)(n-2)}{2} punti determinati.[1]

Una qualunque di tali curve è individuata da un punto arbitrario, aggiunto ai dati \tfrac{n(n+3)}{2}-1; cioè fra le infinite curve passanti per \tfrac{n(n+3)}{2}-1 punti dati, ve n'ha una sola che passi per un altro punto preso ad arbitrio. Ne segue che l'indice della serie formata da quelle infinite curve (34) è 1. Ad una serie siffatta si dà il nome di fascio; ossia per fascio d'ordine n s'intende il sistema delle infinite curve di quest'ordine, che passano per  \tfrac{n(n+3)}{2}-1 punti dati ad arbitrio e, per conseguenza, per altri \tfrac{(n-1)(n-2)}{2} punti individuati. Il complesso delle n^2 intersezioni comuni alle curve d'un fascio dicesi base del fascio.

Analoghe proprietà hanno luogo per le curve di data classe. Le m^2 tangenti comuni a due curve di classe m toccano infinite altre curve della stessa classe. Vi ha una sola curva di classe m che tocchi \tfrac{m(m+3)}{2} rette date ad arbitrio. Tutte le curve di classe m tangenti ad \tfrac{m(m+3)}{2}-1 rette arbitrarie hanno altre \tfrac{(m-1)(m-2)}{2} tangenti comuni individuate.


Art. IX.

Altri teoremi fondamentali sulle curve piane.


42. Fra gli \tfrac{n(n+3)}{2} punti, che determinano una curva semplice d'ordine n, ve ne possono essere tutt'al più np - \tfrac{(p-1)(p-2)}{2} situati in una curva d'ordine  p<n .

Infatti, se np- \tfrac{(p-1)(p-2)}{2}+1 punti giacessero in una curva d'ordine p, i rimanenti

  1. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, 1. Bd., Essen 1828, p. 229.