Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/47

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punti, il cui numero è

\frac{n(n+3)}{2}-np + \frac{(p-1)(p-2)}{2}- 1 = \frac{(n-p)(n-p+3)}{2},

determinerebbero (34) una curva d'ordine n-p, la quale insieme colla data curva d'ordine p costituirebbe un luogo d'ordine n passante per tutt'i punti dati. Dunque il massimo numero di punti che si possono prendere ad arbitrio sopra una curva d'ordine p, all'intento di descrivere per essi una curva semplice d'ordine  n>p , è np-\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}.[1]

43. Siano date due curve, l'una d'ordine p, l'altra d'ordine q, e sia p+q = n. Se nel luogo d'ordine n, formato da queste due curve, si prendono ad arbitrio \tfrac{n(n+3)}{2} -1 punti, per essi passeranno infinite curve d'ordine n, le quali avranno in comune altre \tfrac{(n-1)(n-2)}{2} intersezioni (41) [52], distribuite sulle due curve date. Nell'assumere ad arbitrio quegli \tfrac{n(n+3)}{2}-1 punti, se ne prendano np-g sulla curva d'ordine p ed nq - h sulla curva d'ordine q, ove g,\,  h sono due numeri (interi e positivi) soggetti alla condizione:

1)
g + h=\frac{(n-1)(n-2)}{2}.

Inoltre, affinchè le due curve siano determinate dai punti presi in esse, dovrà essere:

np-g \geq \frac{p(p+3)}{2}, \quad nq -h \geq \frac{q(q+3)}{2},

da cui:

g\leq \frac{p(p-3)}{2} + pq, \quad h \leq \frac{q(q-3)}{2}+pq.

Se in queste due relazioni poniamo per g e per h i valori dati dalla 1), abbiamo:

h\geq \frac{(q-1)(q-2)}{2}, \quad g \geq \frac{(p-1)(p-2)}{2}.

Così sono fissati i limiti entro i quali devono essere compresi g,\, h. Possiamo dire che g è compreso fra il limite minimo \tfrac{(p-1)(p-2)}{2} ed il limite massimo

  1. Jacobi, De relationibus, quoe locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum etc. (Giornale di Crelle, t 15, Berlino 1836, p. 292)