Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/48

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\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}+p(n-p)-1; e che h è dato, mediante g, dalla 1). Abbiamo così il teorema[1]:

Tutte le curve d'ordine n=p+q [53], descritte per np - g punti dati di una curva d'ordine p e per nq - h punti dati di una curva d'ordine q, segano la prima curva in altri g punti fissi e la seconda curva in altri h punti fissi.

(a) Da questo teorema segue immediatamente:

Affinchè per le n^2 intersezioni di due curve d'ordine n passi il sistema di due curve d'ordini p,\, n- p, è necessario e sufficiente che di queste intersezioni np-g appartengano alla curva d'ordine p, ed n(n-p) - h appartengano alla curva d'ordine n-p.

(b) Quando il numero g ha il suo minimo valore, il teorema suenunciato può esprimersi così:

Ogni curva d'ordine n, descritta per np-\tfrac{(p-1)(p-2)}{2} punti dati di una curva d'ordine p<n, incontra questa in altri \tfrac{(p-1)(p-2)}{2} punti fissi.

Ovvero :

Se delle n^2 intersezioni di due curve d'ordine n, np-\tfrac{(p-1)(p-2)}{2} giacciono in una curva d'ordine p<n, questa ne conterrà altre \tfrac{(p-1)(p-2)}{2}, e le rimanenti n(n - p) saranno in una curva d'ordine n - p.

Del resto, questi teoremi sono compresi nel seguente più generale.

44. Date due curve, l'una C_n d'ordine n, l'altra C_m d'ordine m<n, se delle loro intersezioni ve ne sono mp - \tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2} situate sopra una curva C_p d'ordine p<n, questa curva ne conterra altre \tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}; e le rimanenti m(n-p) saranno sopra una curva d'ordine n - p. [54]

Infatti: fra le (n - m)p intersezioni delle curve C_p,\, C_n non comuni a C_m, se ne prendano \tfrac{(n-m)(n-m+3)}{2} e per esse si descriva una curva C_{n-m} d'ordine n - m. Avremo così due luoghi d'ordine n: l'uno è C_n, l'altro è C_m + C_{n-m}. La curva C_p contiene

mp - \frac{(m+p -n -1)(m+p-n-2)}{2} + \frac{(n-m)(n-m+3)}{2}= np -\frac{(p-1)(p-2)}{2}

intersezioni de' due luoghi, dunque (43, b) ne conterrà altre

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  1. Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 11.