Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/49

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\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}; cioe \tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2} comuni a C_n, C_m, e (n-m)p - \tfrac{(n-m)(n - m + 3)}{2} comuni a C_n, C_{n-m}; e tutte le rimanenti saranno in una curva d'ordine n - p.

Da questo teorema segue che gli mp- \tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2} punti dati comuni alle curve C_n,\, C_m, \, C_p individuano altri \tfrac{(m+p- n-1)(m+p - n- 2)}{2} punti comuni alle curve medesime. Tutti questi punti sono pienamente determinati dalle curve C_m, C_p, indipendentemente da C_n; dunque: Qualunque curva d'ordine n descritta per mp - \tfrac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2} intersezioni di due curve d'ordini m, \, p (m,\, p non maggiori di n) passa anche per tutti gli altri punti comuni a queste curve.[1] [55]

45. I teoremi or ora dimostrati sono della più alta importanza, a cagione del loro frequente uso nella teoria delle curve. Qui mi limiterò ad accennare qualche esempio interessante.

(a). Una curva d'ordine n sia segata da una trasversale ne' punti a,\, b, \, \dots e da una seconda trasversale ne' punti a',\,  b', \dots . Considerando il sistema delle n rette aa',\, bb', \dots come un luogo d'ordine n, le rimanenti intersezioni di esse colla curva data saranno (43, b) in una curva d'ordine n - 2. Supponiamo ora che a', \, b', \dots coincidano rispettivamente con a,\, b, \dots; avremo il teorema:

Se ne' punti, in cui una curva d'ordine n è segata da una retta, si conducono le tangenti alla curva, esse incontrano la curva medesima in altri n(n - 2) punti, situati sopra una curva d'ordine n - 2.[2]

(b). Analogamente si dimostra il teorema generale:

Se ne' punti, in cui una curva d'ordine n è segata da un'altra curva d'ordine n', si conducono le tangenti alla prima curva, esse la segheranno in altri nn'(n - 2) punti, tutti situati in una curva dell'ordine n'(n - 2).

Questo teorema è un'immediata conseguenza della proprietà dimostrata al principio del n. 44, purché si consideri il complesso delle nn' tangenti come un luogo dell'ordine nn', e la curva d'ordine n', ripetuta due volte, come un luogo dell'ordine 2n'.

(c). Una curva del terz'ordine passi pei vertici di un esagono e per due de' tre ____________

  1. Cayley, On the Intersection of Curves (Cambridge Mathematical Journal, vol. III, 1843, p. 211).
  2. Maclaurin, l. c. p. 237.