Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/376

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punti d'incontro delle tre coppie di lati opposti: dico che anche il punto comune alla terza coppia giace nella curva. Infatti: il primo, il terzo ed il quinto lato dell'esagono costituiscono un luogo di terz' ordine; mentre un altro luogo del medesimo ordine è formato dai tre lati di rango pari. Le nove intersezioni di questi due luoghi sono i sei vertici dell'esagono e i tre punti di concorso de' lati opposti. Ma otto di questi punti giacciono per ipotesi nella curva data; dunque (41) questa conterrà anche il nono[1]; c. d. d.

Se i sei vertici sono in una curva di second'ordine, le altre tre intersezioni saranno in una retta (43,b); si ha così il celebre teorema di Pascal:

I lati opposti di un esagono inscritto in una curva di second'ordine si tagliano in tre punti situati in linea retta.[2]

Dal quale, pel principio di dualità, si conclude il teorema di Brianchon[3]:

Le rette congiungenti i vertici opposti di un esagono circoscritto ad una curva di seconda classe concorrono in uno stesso punto.

(d) Tornando all' esagono inscritto in una curva del terz' ordine, siano 1 2 3 4 5 6 i vertici ed a,\, b,\, c i punti ove s'incontrano le coppie di lati opposti [12, 45], [23,56], [34, 61]. Se i punti 12 sono infinitamente vicini nella curva e così pure 45, i punti 1, 3, 4, 6, b,\, c saranno i vertici di un quadrilatero completo ed a sarà l'incontro delle tangenti alla curva ne' punti 1 e 4; dunque:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una curva del terz' ordine, le tangenti in due vertici opposti s'incontrano sulla curva.[4]

Siano adunque, abca'b'c' i vertici di un quadrilatero completo inscritto in una curva del terz'ordine: abc siano in linea retta ed a'b'c' i vertici rispettivamente opposti. Le tangenti in aa',\, bb',\, cc' incontreranno la curva in tre punti \alpha,\, \beta,\, \gamma. Siccome però, se tre punti abc di una curva del terz' ordine sono in una retta, anche i loro tangenziali \alpha \beta \gamma sono in un'altra retta (39,b), così abbiamo il teorema:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una curva del terz'ordine, le coppie di tangenti ne' vertici opposti concorrono in tre punti della curva, situati in linea retta.

  1. Poncelet, Analyse des transversales, p. 132.
  2. Pascal, Essai pour les coniques in Oeuvres de Blaise Pascal, A La Haye. Chez Detune 1779, t. 4, p. 1-7. — Cfr. anche: Weissenborn, Die Projection in der Ebene, Berlin, Weidmannsche Buchhandlung 1862. Vorrede p. VIII-XVII. — Einleitung
  3. Brianchon, Journal de l'Ecole Polytechnique, cah. 13, pag. 301, Paris 1806. — Einleitung
  4. Maclaurin, l.c. p. 237.